線性化

数学上的線性化(linearization)是找函数在特定點的线性近似,也就是函數在該點的一階泰勒级数。在动力系统研究中,線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統,在特定平衡点局部穩定性的一種方法[1]。 此方法常應用在工程学物理学经济学生态学的應用中。

函數的線性化编辑

函数的線性化為線性函數。針對函數 ,若要用在任意點 下的值及其圖形斜率來進行近似時,假設  (或 )區間內可微,且b鄰近a,線性化是可以有效近似的方法。簡單來說,線性化就是在 點附近,以直線來近似函數的值。例如 ,那麼針對 ,利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。

針對任意函數  在已知可微分點附近的位置,都可以被近似。最基本的要求是 ,其中   的線性化。一次方程的圖形會形成直線,例如通過點  ,斜率為 為直線。方程式的一般形為 

若是配合點  即變成 。因為可微分函數是局部線性,該點的斜率可以用 在點 切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近 ,相對來說比較接近的點,其線性近似的效果也會比較好。斜率 最準確的值會是在 點的切線斜率。

 
f(x)=x^2在(x, f(x))的近似值

旁邊的圖可以說明 在點 的切線。在 位置,其中 是小的正值或是負值, 非常接近 點的切線。

函數在點 線性化的最終方程為:

 

針對  。函數 的導數為 ,而函數 在點 的斜率為 

例子编辑

若要找 ,可以用 的資訊。函數 在點 的線性化為 ,因為函數 定義了函數 在點 的斜率。

代入 ,其線性化結果為 

針對 的例子,可得 近似 。其實際值為2.00024998,非常接近,此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

多變數函數的線性化编辑

函數 在點 線性化的方程式為:

 

多變數函數 在點 線性化的通式為

 

其中 是變數向量,而 是要線性化的點[2]

線性化的應用编辑

配合線性化的技術,可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒级数的一階展開。針對以下的系統

 ,

其線性化系統為

 

其中 是要觀測的特定點,而  在點 所計算的雅可比矩阵

穩定性分析编辑

自治系统穩定性分析中,可以用在雙曲平衡點英语hyperbolic equilibrium point計算雅可比矩阵特征值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論英语linearization theorem的內容。若是時變系統,其線性化需要考量其他的因素[3]

微观经济学编辑

微观经济学中,決策規則英语decision rule可以用狀態空間下線性化的作法來近似[4]。若以此方式分析,效用最大化欧拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化[4]。所得動態方程的系統的唯一解即為其解[4]

最佳化编辑

最优化中,成本函數以及非線性成份都可以線性化,以使用一些線性的求解方式(例如单纯形法)。最佳化的結果可以更有效率的產生,而且是決定性的全域极值

多物理場编辑

多物理场系統(系統中有多個不同物理領域的模型,彼此互相影響)中,可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統,可以用monolithic的迭代來求解(例如牛顿法)。這類的例子包括MRI scanner英语MRI scanner系統,包括了電磁系統、力學系統及聲學系統[5]

相關條目编辑

參考資料编辑

  1. ^ The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia. [2020-04-10]. (原始内容存档于2018-07-04). 
  2. ^ Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering 互联网档案馆存檔,存档日期2010-06-07.
  3. ^ Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V. Time-Varying Linearization and the Perron effects. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007, 17 (4): 1079–1107. doi:10.1142/S0218127407017732. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Moffatt, Mike. (2008) Dotdash State-Space Approach Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.
  5. ^ Bagwell, S.; Ledger, P. D.; Gil, A. J.; Mallett, M.; Kruip, M. A linearised hp–finite element framework for acousto-magneto-mechanical coupling in axisymmetric MRI scanners. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2017, 112 (10): 1323–1352. doi:10.1002/nme.5559. 

外部連結编辑