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數學中,考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的。這類群廣泛出現於數學的各分支中,二面體群與正多胞體的對稱群都是例子;此外,根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。

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形式定義编辑

所謂考克斯特群,是一個群   寫成如下的表達式,即由滿足一些交互關係的生成元生成的群

 

其中   滿足   以及   對所有  。在此   意指   恆不等於單位元。

注意到  ;若  ,則  。且 m 滿足對稱性  

令這組生成元為  。資料   稱為考克斯特群。方陣   稱為考克斯特矩陣

性質编辑

 
有限考克斯特群的分類

  為考克斯特群,可證明存在一個有限維實矢量空間   及其上的非退化雙線性形  (未必正定),使得   同構於正交群   的某個子群。由於   的元素均為二階,可視之為   中對某些超平面的鏡射。

利用   的展示,定義元素的長度如下:對  ,定義其長度   為所有表法   中最短的  。由此可導出

 
 

例子编辑

  • 對稱群   是考克斯特群。在此可取   為置換  ;關係為  
  • 正多胞體的對稱:正多胞體的對稱群是有限考克斯特群。舉例明之:正多邊形的對稱群是二面體群,正 n 維單形的對稱群是前述的  ,又稱為   型的考克斯特群。n 維超正方體的對稱群為  正十二面體正二十面體的對稱群是  。在四維空間中,存在三種特別的正多胞體──正二十四胞體正一百二十胞體正六百胞體,其對稱群分別是    可以由某些半正多胞體的對稱群得到。
  • 外爾群:每個根系的外爾群都是有限考克斯特群。
  • 仿射外爾群:仿射外爾群是無限群,但帶有一個正則阿貝爾子群,使得對應的商群是個外爾群。

分類编辑

一般而言,兩個群展示的同構與否是無法判定的。然而對考克斯特群則有一個簡單的判準,稱為交換條件。可以透過考克斯特-丹金圖分類有限考克斯特群。圖的構造方式為:

  1. 每個生成元對應到一個頂點。
  2.  ,則頂點   之間有邊相連。
  3.  ,則將邊標上  

文獻编辑

  • Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
  • Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 檔案下載 .
  • James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.