打开主菜单
透過鐵粉顯示出的磁力線。將條狀磁鐵放在白紙下面,鋪灑一堆鐵粉在白紙上面,這些鐵粉會依著磁場力的方向排列,形成一條條的曲線,在曲線的每一點顯示出磁力線的方向。

論法拉第力線》(On Faraday's Lines of Force)是詹姆斯·馬克士威于1855年發表的一篇論文。[1]這是他從閱讀了麥可·法拉第的著作《電的實驗研究》(Experimental Researches in Electricity)之後,得到啟發而撰寫的一篇論文。馬克士威將法拉第想出的力線延伸為裝滿了不可壓縮流體的「力管」。這力管的方向代表力場(電場磁場)的方向,力管的截面面積與力管內的流體速度成反比,而這流體速度可以比擬為電場或磁場。既然電場或磁場能夠比擬為流體速度,當然可以要求電場或磁場遵守流體力學的部分理論。那麼,借用流體力學的一些數學框架,即可推導出一系列初成形的電磁學雛論。[2]馬克士威這樣陳述:[3]

按照我將採用的方法,我希望能夠表明,我並不是在從一個我尚未做出任何實驗成果的學術中,試著建立任何物理理論;我的設計的最終目的是在顯示出,靠著嚴謹地應用法拉第的思維和方法,許多他所發現的不同電磁現象之間的連結關係,可以被清楚地陳列於數學家面前。因此,我會儘量避免提出,任何不是從法拉第方法得到的直接實例,或任何不是從法拉第方法得到的數學推論。在探討主題內一些比較簡單的部分時,我會使用法拉第的數學方法和思維。若當主題的複雜部分需要時,我會使用數學分析,但仍舊局限於發展這位哲學家的原本思維。
—— 馬克士威
馬克士威的科學論文集

用熱傳導機制來比擬靜電學编辑

在那時期的電磁學可以形容為眾多實驗結果和數學分析的大雜燴,急需整合成一套內外一致,有條有理的學術理論。裝備著劍橋大學物理系對於物理學生精心栽培的比擬能力,馬克士威試圖創建一個能夠描述各種電磁現象的模型。他首先提到了威廉·湯姆森想出的比擬案例。湯姆森發現,描述熱傳導於均勻物質的傅立葉熱傳導定律,與靜電學內描述電場和電勢之間的關係式,它們的方程式的形式相同。傅立葉熱傳導定律以方程式表達為

  ;

其中, 熱通量heat flux), 是物質的熱導率 溫度

電場和電勢之間的關係式表達為

  ;

其中, 是電場, 是電勢。

很明顯地,設定熱導率 ,則電勢可以比擬為溫度,而電場可以比擬為熱通量。法拉第的電力線變為了熱流線,等勢線equipotential)變為了等溫線。所以,解析熱傳導問題的方法,可以用來解析靜電學問題。

馬克士威又注意到一個問題:熱傳導依賴的是物質的緊鄰的兩個粒子之間互相接觸而產生的「鄰接作用」(contiguous action);思考兩個相距很遠的電荷,不經過任何媒介,互相直接施加於對方的作用力,假若電場力是這種作用力,則電場力是一種超距作用action at a distance)。兩種完全不同的物理現象,居然可以用同樣形式的數學方式來描述,這給予馬克士威很大的遐想空間。

不可壓縮流體理論编辑

馬克士威覺得熱傳導機制只能夠有限地比擬出電磁場的物理現象。他認為流體流動機制具有更大的威力,更多的功能來比擬靜電學和靜磁學。他開始探索不可壓縮流體的性質。按照定義,不可壓縮流體的任何部分的體積不會因為時間的演進而改變。這是一種假想的理想流體,是一種非常簡單的流體。馬克士威更進一步假設流體的流動是穩定的;在任何位置,流動的方向和速率不含時間。這樣,就不用考慮時間的因素。流體內部任意元素,隨著流動,會描繪出一條曲線,稱為「流動線」。法拉第想出的力線可以比擬為流動線。

設想圍繞著流動線的一個圓環,其每一個流體元素,隨著流動,會共同描繪出一條假想的「力管」。在力管外面的流體不會流入力管內;在力管裏面的流體也不會流出力管外。假設力管在某位置的截面面積為 ,流速大小為 ,則每單位時間流過此截面的流體體積為 。定義「單位力管」為每單位時間流過截面的流體體積為 的力管。對於單位力管

 

流速大小 越快,力管的截面面積越小;反之,則截面面積越大。

為了滿足流體體積的守恆,每一個力管,必須有一個力管源和力管壑。流體從力管源流出來,經過力管,最終流入力管壑。

舉一個單獨力管源例子。在三維空間裏,假設位於參考系的原點有一個力管源,每單位時間流出的流體體積為 。流體最終流入位於無窮遠的力管壑。在與此力管源的徑向距離為 的位置的流速大小為

 

單位力管的截面面積為

 

在三維空間中,總共會存在有 個單位力管。這些單位力管填滿了整個空間,不會露出任何空隙。

在三維空間裏,假設位於參考系的原點有一個力管壑,每單位時間流入的流體體積為 。流體最初是由位於無窮遠的力管源流出。在與此力管源的徑向距離為 的位置的流速大小為

 

因為流體的流動方向是朝著力管壑,所以流速大小是負值。

這不可壓縮流體系統遵守疊加原理。給予三個流體流動系統,假設第三個系統在每一個位置的流速,是另外兩個系統在同樣位置的流速的向量和。則通過第三個系統的一個曲面的每單位時間的流體體積,等於通過另外兩個系統的同樣曲面的每單位時間的流體體積的和。

無質量流體流過阻抗介質的均勻運動理論编辑

馬克士威的流體沒有質量,沒有慣性,與牛頓運動定律無關。他提出的模型是幾何模型,不是物理模型。稱力管內的兩個截面之間的流體為「流動截體」。為了要賦予這模型流動所需的動力,馬克士威假設力管內的流動截體會感受到壓差 ,前面阻擋的壓強小於後面推撞的壓強,因此,流動截體會往前方流動。

當流體經過介質時,會感受到一股與流速成正比的阻力,以方程式表達為

 

其中, 是單位體積感受到的阻力, 是介質的「阻抗係數」。

由於這阻力的作用,使得流動截體的前面阻擋的壓強小於後面推撞的壓強。每往前面移動單位長度,壓強會減少 。對於單位力管,一個截面面積為 ,厚度為 的流動截體,所感受到的阻力大小為 ,壓差為 。定義 的流動截體為「單位流胞」。截面面積越大,單位流胞的厚度也越大;其關係為

 

給予一個流體系統的等壓曲面,則可計算出在空間所有位置的流速,也可以佈置好所有的單位力管,包括其力管源和力管壑。反之,給予一個系統所有的力管源和力管壑,則可計算出在空間所有位置的流速,也可以計算出等壓曲面。

給予一個流體系統,已知其在每一個位置的壓強、力管源分佈和力管壑分佈,假設其介質的阻抗係數為 。這個系統等價於一個介質的阻抗係數為 、力管源和力管壑的流量分別為 倍的系統。兩個系統在每一個位置的壓強相等,流速也相等。

這流體系統仍舊遵守疊加原理。給予三個流體流動系統,假設第三個系統在每一個位置的壓強,是另外兩個系統在同樣位置的壓強和。則第三個系統在三維空間內每一個位置的流速,是另外兩個系統在同樣位置的流速的向量和。

回想前述單獨力管源例子。徑向距離 越遠,壓強 越小;壓強的變率為

 

 為無窮遠時, ,所以壓強為

 

應用於靜電學和靜磁學编辑

馬克士威想出的不可壓縮流體模型能夠比擬很多電磁現象,例如,靜電作用、靜磁作用、感應磁場作用、電流等等。

靜電作用编辑

回想前述單獨力管源例子。將源電荷 比擬為力管源,將電場比擬為流速。那麼,可以得到電場 與距離的關係式:

 

將電勢比擬為壓強。力管源與壓強 的關係式為

 

按照這關係式,設定 ,可以得到電勢 與源電荷的關係式:

 

電勢與電場的關係式為

 

電介質理論编辑

假設電介質消弱了電場和電勢,則對應的流速和壓強也會減小,通過減小阻抗係數 ,就可以減小壓強,但不能減小流速,因為流速只與力管源、力管壑和距離有關。所以,不能直接地靠著減小阻抗係數 來比擬電介質的效應。必須換一種方法,如同前面所述,將這阻抗係數為 的介質替換為阻抗係數為 的介質,又將所有力管源和力管壑的流量分別增加為 倍。這樣,流速和壓強就可以分別比擬為電場和電勢。

在兩個阻抗係數不同的區域的界面,由於界面兩邊的阻抗係數不同,會形成不同流量的力管源和力管壑。所以,會有淨力管源或淨力管壑出現於界面。這對應於電介質的感應表面電荷。

永久磁鐵理論编辑

如同靜電場,靜磁場也遵守反平方定律。所以,可以使用同樣的方法來比擬靜磁場。馬克士威將磁鐵視為由單獨的磁粒子組成的,每一個磁粒子都有自己的磁北極和磁南極,分別可以比擬為力管源和力管壑。那麼,磁力線即可比擬為流動線,流速比擬為磁場,壓強比擬為「磁純量勢」。

永久磁鐵有一個磁南極和一個磁北極。按照常規,磁力線從磁北極出來,經過空間,回到磁南極。試想磁鐵是由許多「磁胞」組成的。每一個磁胞都有一個磁南極和一個磁北極。那麼,就可以用「流胞」來比擬磁胞。每一個流胞都有一個力管源和一個力管壑,分別對應於磁北極和磁南極。聚集在一起,相鄰的流胞之間的力管源會與力管壑相互抵消。所以,整體看來,磁鐵的磁北極對應於其「北表面」的一個巨觀的力管源,而磁南極則對應於其「南表面」的一個巨觀的力管壑。

電緊張態编辑

法拉第最先提出「電緊張態」(electro-tonic state)的概念。在研究電磁感應理論時,他發現當將物體放在磁鐵或電流的附近時,物體會進入一種狀態。假若不打擾這系統,則處於此狀態的物體不會自發地顯示出任何現象。但是,一當系統有所變化,像磁鐵被移動了,或電流被增大了,則這狀態也會改變,因而產生電流或趨向產生電流。法拉第稱此狀態為「電緊張態」。但是,他並沒有很明確的說明這概念。[4]

後來,開爾文男爵於1851年引入磁矢勢的概念,並且給定磁矢勢與磁場之間的關係:[4]

 

馬克士威在他的流體模型裏,找不到任何電緊張態可以扮演的角色。馬克士威這樣陳述:[5]

在這篇從數學觀點來研讀法拉第理論的概述論文,我最多能做的,就是簡明地闡示數學方法,即我認為電磁現象能夠最容易被了解和約化為運算的數學方法。我的目標是以實質形式呈現數學想法於思維。這實質形式不是抽象符號,而是一群曲線或曲面。因為,抽象符號不能夠傳達同樣的想法,也不能夠自然地融入需要解釋的現象。但是,電緊張態的概念,還尚未在我的思維中呈現出它的形式,即一種不需要涉及抽象符號,就可以明確地解釋出它的自然屬性的形式。……經過仔細地研究彈性固體定律和黏性流體運動,我希望能夠發現一種適用於一般推理的方法,來塑造電緊張態的機械概念。
—— 馬克士威
馬克士威的科學論文集

在這裏,馬克士威遇到了一點小困難。這是因為他設計的流體是穩定流體,在任何位置,流體的流動方向和速率不含時間。整個系統都是穩定的,不會因時間而改變。可是,電緊張態只能在系統改變時才會改變和顯現其效應。所以,馬克士威的流體模型找不到任何變量來比擬電緊張態。還有,馬克士威的流體模型可以比擬各種電場和磁場的現象,但都是孤立的現象;馬克士威的流體模型無法比擬綜合的電磁感應現象。在論文《論物理力線》裏,馬克士威會賦予他的模型更強大的威力,更豐富的功能來比擬各種電磁現象,並且創先地預測出電位移的存在。[6]

在這篇論文的後半部分,馬克士威開始仔細分析電緊張態的物理性質。他給出一條重要定律:作用於一個導體的微小元素的電場,可以由該微小元素的電緊張態對於時間的導數來衡量。[7]以現代標記表示,這方程式為

 

這是馬克士威學術生涯中的第一個重要突破,他將法拉第的電緊張態辨識為開爾文男爵的磁矢勢,並且對於電緊張態給出嚴格定義。[4]

規範自由编辑

對於電緊張態的定義式取旋度,則可得到法拉第感應方程式

 

馬克士威在這篇論文特別提出,開爾文男爵於1851發現的關於磁矢勢的數學性質,[8]即任意添加一個函數的梯度給磁矢勢,都不會改變磁矢勢與磁場的關係式、法拉第感應方程式,這數學性質後來演化為現今規範自由的概念。[4]

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 馬克士威 1890,第155ff页
  2. ^ Crease 2008,第132ff页
  3. ^ 馬克士威 1890,第157-158页
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Yang, ChenNing. The conceptual origins of Maxwell’s equations and gauge theory. Physics Today. 2014, 67 (11): 45–51. doi:10.1063/PT.3.2585. 
  5. ^ 馬克士威 1890,第187页
  6. ^ Simpson 1997,第116页
  7. ^ Whittaker 1951,第272-273页
  8. ^ 馬克士威 1890,第198-199页

進階閱讀编辑