逐點收斂

逐點收歛也稱點態收斂,(英語:pointwise convergence,或称简单收敛),是數學中描述一組函数序列向一个函数趋近的一種方式(函數趨近極限有其他不同方式,個中差異請小心分辨)。詳細點講,如果这組函数列在定義域中每点的取值都會趋于一个极限值,這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數,被趋近的这个極限函数称作這個函数敘列的逐点极限。在各种收敛中,逐点收敛較容易了解跟想象,但未必能很好地保持函数的一些重要性质,比如说连续性等等。序

定义编辑

  是一組有相同定义域的函数序列。序列   逐点收敛当且仅当存在函数  ,使得在定义域中的每點  ,都有:

 

这时我们就说序列   逐点收敛到  ,或說函數   是序列   的逐點極限函數。在英文中也寫作:

 


性质编辑

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛(英語:uniform convergence)。一致收歛的定义如下: 假設序列   中的函數跟函數   都有相同的定義域  。定義函數序列   一致收敛到  ,若數列   趨近於零,用符號表示就是: ,換句話講也就是:

 

兩相比較,一致收敛對於函數趨近的方式限制更大,所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛,反之则不然。一个简单的例子是函数序列  ,讓  ,則   逐点收敛到(不連續)函数

 ,

但并不一致收敛到該函數,因為對每個    皆為 1,所以

 

這說明了序列   並不一致收歛。 一致收敛能够保持函数序列的连续性,但逐点收敛不能。如上例, 序列   都在闭区间   上连续,但是   逐点收敛到的函数   並不是连续函数。

逐點收歛不要求序列   中函数的取值一定是实数,也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小,比如如果函數序列   的對應域僅是拓樸空間,那可能一致收歛的定義並無意義,所以一致收歛的對應域一般在度量空间。因为一致收歛定義中表達趨近的部分我們(部分的)利用了距离的概念(絕對值就是距離的概念),在這定義中無法被其他概念取代,相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念,但可以用拓樸空間中的開集合來取代,。

拓扑性质编辑

逐点收敛也可以理解为由半范数 建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果 定义域值域都是紧致的,根据吉洪诺夫定理,这个空间也是紧致的。

测度论编辑

测度理论中,对一个可测空间上的可测函数几乎处处收敛的概念,也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明,在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛,意味着在稍微较小的集合上一致收敛。

参见编辑