邻域

在集合论中，邻域（英語：Neighbourhood）指以点 $a$ 为中心的任何开区间，记作： $U(a)$ 。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

定义

在集合论中，有以下几种邻域：

\delta

邻域：

U(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )=\left\{x\mid |x-a|<\delta \right\}

去心邻域：

U_{0}(a,\delta )=\left\{x\mid 0<|x-a|<\delta \right\}

左邻域：

(a-\delta ,a)

右邻域：

(a,a+\delta )

在拓扑学中，拓扑空间 $X$ ， $A$ ， $B\subseteq X$ ，称 $B$ 是 $A$ 的邻域，当且仅当以下条件之一成立：

存在开集 $C$ ，使得 $A\subseteq C\subseteq B$ 。
$A\subseteq B^{O}$ 。（ $B^{O}$ 是 $B$ 的内部）

开邻域，闭邻域: 若 $B$ 是开集，则 $B$ 称为 $A$ 的开邻域；若 $B$ 是闭集，则 $B$ 称为 $A$ 的闭邻域。
邻域系统: 设 $x\in X$ ，则 $\{x\}$ 所有邻域的集合 $U(x)$ ，称为 $x$ （或 $\{x\}$ ）的邻域系。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果 $S$ 是 $X$ 的子集， $S$ 的邻域是集合 $V$ ，它包含了包含 $S$ 的开集 $U$ 。可得出集合 $V$ 是 $S$ 的邻域，当且仅当它是在 $S$ 中的所有点的邻域。

鄰域的度量空间定義

平面上的集合 $S$ 和 $S$ 的一致邻域 $V$ 。

在度量空间 $M=(X,d)$ 中，集合 $V$ 是点 $p$ 的邻域，如果存在以 $p$ 为中心和半径为 $r$ 的开球，

B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}

它被包含在 $V$ 中。

一致邻域

$V$ 叫做集合 $S$ 的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数 $r$ 使得对于 $S$ 的所有元素 $p$ ，

B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}

被包含在 $V$ 中。

对于 $r>0$ 集合 $S$ 的 $r$ -邻域 $S_{r}$ 是 $X$ 中与 $S$ 的距离小于 $r$ 的所有点的集合（或等价的说 $S_{r}$ 是以 $S$ 中一个点为中心半径为 $r$ 的所有开球的并集）。

可直接得出 $r$ -邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个 $r$ 值的 $r$ -邻域。
參見一致空間。

非一致邻域的例子

给定实数集 $\mathbb {R}$ 带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集 $V$

V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right)

，

则 $V$ 是自然数集合 $N$ 的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為 $r={\frac {1}{n}}$ 並不是一個固定值。

去心邻域

点 $p$ 的去心邻域（英語：deleted neighborhood 或 punctured neighborhood）是点 $p$ 的邻域中减去 $\{p\}$ 后得到的差集。例如，区间 $(-1,1)=\{y:-1<y<1\}$ 是 $p=0$ 在实数轴上的邻域，因此集合 $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ 是 $p=0$ 的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。

基于邻域的拓扑

上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在 $X$ 上的邻域系统是滤子 $N(x)$ （在集合 $X$ 上）到每个 $X$ 中的 $x$ 的指派，使得

点 $x$ 是每个 $N(x)$ 中的 $U$ 的元素，
每个 $N(x)$ 中的 $U$ 包含某个 $N(x)$ 中的 $V$ 使得对于每个 $V$ 中的 $y$ 有着 $U$ 在 $N(y)$ 中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.

Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.

Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.

参见