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阿基米德公理

(重定向自阿基米德性質

抽象代数分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理(又称阿基米德性质),是一些赋范的代数结构具有的一个性质。粗略地讲,它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奧地利數學家Otto Stolz英语Otto Stolz赋予它这个名字[1]

这个概念源于古希腊对的理论;如大卫·希尔伯特的几何公理,有序群有序域局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。

阿基米德公理可表述為如下的現代記法: 對於任何實數,存在自然數

在現代實分析中,這不是一個公理。它退卻為實數具完備性的結果。基於這理由,常以阿基米德性質的叫法取而代之。

形式敘述以及證明编辑

解釋编辑

簡單地說,阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句:

  1. 給出任何數,你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
  2. 給出任何正數,你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價于說,對於任何實數  ,如果 ,則存在自然數 ,有

 

与實數的完備性的关系编辑

實數的完備性蘊含了阿基米德性質,證明利用了反證法

假設對所有  (注意 表示  相加),令 ,則  的上界( 上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為 ),於是 

 

得出 也是 的一個上界,這與 是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質,但阿基米德性推不出實數的完備性,因為有理數滿足阿基米德性,但並不是完備的。

參看编辑