阿基米德公理

(重定向自阿基米德性質

抽象代数分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的公理,是一些赋范的代数结构具有的一个性质,可表述如下:

對於任何正實數 ,即使 多麼小,或是 多麼大,也必定存在自然數 ,使得

這公理的粗略意義是,數字系統不存在具有无穷大无穷小性質的元素。

这个概念源于古希腊对的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奧地利數學家奥托·施托尔茨英语Otto Stolz赋予它这个名字[1]

在現代實分析中,這性質不是一個公理,而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由,常以性質的叫法取而代之。

此性質在现代数学中,仍然起着重要的作用,例如有關有序群有序域局部域的理论,以及大卫·希尔伯特的几何公理系統。

形式敘述以及證明编辑

解釋编辑

簡單地說,阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句:

  1. 給出任何數,你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
  2. 給出任何正數,你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價于說,對於任何實數  ,如果 ,則存在自然數 ,有

 

与實數的完備性的关系编辑

實數的完備性蘊含了阿基米德性質,證明利用了反證法

假設對所有  (注意 表示  相加),令 ,則  的上界( 上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為 ),於是 

 

得出 也是 的一個上界,這與 是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質,但阿基米德性質推不出實數的完備性,因為有理數滿足阿基米德性質,但並不是完備的。

參看编辑

  1. ^ 存档副本. [2016-01-05]. (原始内容存档于2021-04-29).