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除子代数几何中的一个重要概念。在黎曼面上,它可以简单的定义为上的点的(整系数)形式和。一般地,对于代数闭域上的非奇异代数簇,它可以定义为余维为一的子簇的(整系数)形式和,也可以定义为的一个整体截面。在满足一定条件的(可以是奇异的)代数簇上,这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

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黎曼面上的除子编辑

黎曼面 上,它可以简单的定义为 上的点的(整系数)形式和 ,其中  上的点。型如 的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。 上的全部除子构成一个交换群,记作 

对于 上的非零亚纯函数 ,我们可以定义 的除子

 

其中   零点(非零点的阶为零,极点的阶按负值计)。型如 的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作 。除子类群定义作 。对于紧黎曼面,这是一个有限生成的交换群,它是紧黎曼面 的一个重要不变量。

层论的观点看,除子是一个局部的概念,对于 上任意的除子 ,和 开集 ,可以定义  上的限制 函子  上的

给定 上任何一个除子 ,局部上 都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说,一定存在 的一组开覆盖{ }以及每个 上的函数 ,使得 。一般说来,在  的交集上,  的限制未必相等,但易见在 上,存在一个处处非零的全纯函数 ,使得 。另外, 的选取不是唯一的,因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数 来修正它。反过来,任意一组这样的数据 ,都给出了 上的一个除子。

以上论证表明,黎曼面上的任意一个除子 ,都唯一地对应于层 的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发,不难构造除子 所对应的可逆层 :取 的一组开覆盖{ },以及每个 上的函数 ,使得 。取 上的平凡层 ,在交集 上,如前所述  上的一个可逆函数,从而它定义了 上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射 ,不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件,从而他们给出了 上的一个可逆层。

反过来,对于黎曼面,每个可逆层都来自于一个除子。事实上,若 是可逆层,令 为任意一个亚纯截面的除子,则 

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子,则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看,若两个除子之差为一主除子,我们可以把它们视作等价。上面定义的映射 给出了它与 的一个同构。这里 是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子 ,我们可以定义 的次数 。根据定义,这一定是一个有限和。对于紧黎曼面,主除子的次数总为零。由此可见,除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子编辑

X 是一不可约(irreducible),既约(reduced)的局部诺特概形(locally noetherian scheme)。其上一素韦伊除子(prime Weil divisor)是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。

Cartier除子编辑

假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群,记为  。 它是一个常数层,且包含所有非零正则函数的芽层   为子层。按定义,X 上的一个卡蒂亚除子(Cartier divisor)为商层   的一个整体截面

类群编辑

Cartier除子类群编辑

Cartier除子定义的线丛编辑