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雅可比橢圓函數

(重定向自雅可比椭圆函数

數學中,雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於之類的應用問題,並具有與三角函數相似的性質。

目录

介紹编辑

 
雅可比矩形

雅可比橢圓函數有十二種,各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作        

視此矩形為複數平面的一部分,  是原點,  是實軸上的一點        稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為  。為方便起見,取變數  意指矩形上的任一對頂點,則函數   是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

  •   是單零點,  是單極點。
  •    方向的週期等於   距離的兩倍。對另兩個從  出發的方向, 亦滿足同樣性質。
  •   在頂點     的展式首項係數均為一。

表列如次:

函數 週期 零點 極點 留數
         
         
         
   是整數

一般而言,須以平行四邊形代替上述矩形,以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆编辑

以上定義略顯抽象,更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設

 

橢圓函數 sn u 定義為

 

而 cn u 定義為

 

同理,

 

這裡的   是自由變元,通常取  

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數编辑

  •  
  •  

用Θ函數来定义编辑

雅可比椭圆函数也可以用Θ函數来定义。如果我们把 简写为 ,把 分别简写为 (Theta常数),那么椭圆模k 。如果我们设 ,我们便有:

 
 
 

加法定理编辑

 
 

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間   中兩個二次曲面之交,這同構於一條橢圓曲線。曲線上的運算由下列加法公式描述:

 
 
 

函数的平方之间的关系编辑

 
 
 
 

常微分方程的解编辑

三个基本的雅可比椭圆函数的导数为:

 
 
 

根据以上的加法定理,可知它们是以下非线性常微分方程的解:

  •  是微分方程  的解;
  •  是微分方程  的解;
  •  是微分方程  的解。

图像编辑

文獻编辑

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4.  第16章
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3