如果从集合 对自己的笛卡儿积 (也就是 )取出的任意 ,都对应 里的某个值 ,那对应规则 的本身就被称为二元运算。
通常写为 ,而且比起使用字母,二元运算时常以某种运算符表示,来跟普通的函数作区别。
事实上 这个记号本身就保证了:“只要 就会有 ”,这个性质也称为(二元)运算封闭性。
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设 : 是集合 上的二元运算, ,则:
- 称 为 在 下的左幺元,若 满足: ;
- 称 为 在 下的右幺元,若 满足: ;
- 称 为 在 下的幺元,若 满足: 既是 在二元运算 下的左幺元,又是 在二元运算 下的右幺元。
设 : 是集合 上的二元运算, , 是 在 下的幺元。则:
- 称 是 在 下的左逆元,若 满足: 。
- 称 是 在 下的右逆元,若 满足: 。
- 称 是 在 下的逆元,若 满足:a既是 在 下的左逆元,又是 在 下的右逆元。(显然此时 也是 的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素 的逆元通常记为 。
设 : 是集合 上的二元运算, ,则:
- 称 为 在 下的左零元,若 满足: ;
- 称 为 在 下的右零元,若 满足: ;
- 称 为 在 下的零元,若 满足:z既是 在 下的左零元,又是 在 下的右零元。
设 : 是集合 上的二元运算, 且 , 是 在 下的零元。则:
- 称 是 中在 下的左零因子,若 满足: ,使 。
- 称 是 中在 下的右零因子,若 满足: ,使 。
- 称 为 在 下的零因子,若 满足:a既是 在 下的左零因子,又是 在 下的右零因子。
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足交换律,若 满足: ;
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足结合律,若 满足: ;
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足左消去律,若 满足:
称 满足右消去律,若 满足:
称 满足消去律,若 同时满足左消去律与右消去律。
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足幂等律,若 满足: ;
设 : 是集合 上的二元运算,i是 在 下的幺元,
则:称 满足幂幺律,若 满足: (显然此时每个元素都是它自己的逆元);
设 : 是集合 上的二元运算,z是 在 下的零元,
则:称 满足幂零律,若 满足: ,有 (显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);
设 : 和 : 是集合 上的两个二元运算,则:
- 称 对 满足左分配律,若 , 满足: ,有 ;
- 称 对 满足右分配律,若 , 满足: ,有 ;
- 称 对 满足分配律,若 对 满足左分配律以及右分配律;