二元運算

二元運算是種數學運算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西。比如說，整數的加法是二元運算，因整數相加以後仍然是整數。

定義

二元運算的定義 — 給定集合 $A$，二元函數 $\mathrm {F} :A\times A\rightarrow A$ 稱為集合 $A$ 上的二元運算。

如果從集合 $A$ 對自己的笛卡兒積 （也就是 $A\times A$ ）取出的任意 $(a,\,b)$ ，都對應 $A$ 裡的某個值 $\mathrm {F} (a,\,b)$ ，那對應規則 $\mathrm {F}$ 的本身就被稱為二元運算。

$\mathrm {F} (a,\,b)$ 通常寫為 $a\mathrm {F} b$ ，而且比起使用字母，二元運算時常以某種運算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上 $\mathrm {F} :A\times A\rightarrow A$ 這個記號本身就保證了：「只要 $a,\,b\in A$ 就會有 $a\mathrm {F} b\in A$ 」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。

常用性質和術語

關於二元運算有很多常見的性質和術語，列舉如下：

幺元

設 $\circ$: $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，$i\in A$，則：

• 稱 $i$ 為 $A$ 在 $\circ$ 下的左幺元，若 $i$ 滿足：$\forall a\in A,i\circ a=a$；
• 稱$i$ 為 $A$ 在 $\circ$ 下的右幺元，若 $i$ 滿足：$\forall a\in A,a\circ i=a$；
• 稱 $i$ 為 $A$ 在 $\circ$ 下的幺元，若 $i$ 滿足：$i$ 既是 $A$ 在二元運算 $\circ$ 下的左幺元，又是 $A$ 在二元運算 $\circ$ 下的右幺元。

逆元

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，$a,b\in A$,$i$是$A$在$\circ$下的幺元。則：

• 稱$a$是$b$在$\circ$下的左逆元，若$a,b$滿足：$a\circ b=i$。
• 稱$a$是$b$在$\circ$下的右逆元，若$a,b$滿足：$b\circ a=i$。
• 稱$a$是$b$在$\circ$下的逆元，若$a,b$滿足：a既是$b$在$\circ$下的左逆元，又是$b$在$\circ$下的右逆元。（顯然此時$b$也是$a$的逆元），若上下文明確是哪個運算，則元素$a$的逆元通常記為$a^{-1}$。

零元

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，$z\in A$，則：

• 稱$z$為$A$在$\circ$下的左零元，若$z$滿足：$\forall a\in A,z\circ a=z$；
• 稱$z$為$A$在$\circ$下的右零元，若$z$滿足：$\forall a\in A,a\circ z=z$；
• 稱$z$為$A$在$\circ$下的零元，若$z$滿足：z既是$A$在$\circ$下的左零元，又是$A$在$\circ$下的右零元。

零因子

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，$a\in A$且$a\neq z$,$z$是$A$在$\circ$下的零元。則：

• 稱$a$是$A$中在$\circ$下的左零因子，若$a$滿足：$\exists b\in A,b\neq z$，使$a\circ b=z$。
• 稱$a$是$A$中在$\circ$下的右零因子，若$a$滿足：$\exists b\in A,b\neq z$，使$b\circ a=z$。
• 稱$a$為$A$在$\circ$下的零因子，若$a$滿足：a既是$A$在$\circ$下的左零因子，又是$A$在$\circ$下的右零因子。

交換律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，則： 稱$\circ$滿足交換律，若$\circ$滿足：$\forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a$；

結合律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，則： 稱$\circ$滿足結合律，若$\circ$滿足：$\forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$；

消去律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，則：

稱$\circ$滿足左消去律，若$\circ$滿足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b$

稱$\circ$滿足右消去律，若$\circ$滿足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c$

稱$\circ$滿足消去律，若$\circ$同時滿足左消去律與右消去律。

冪等律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，則： 稱$\circ$滿足冪等律，若$\circ$滿足：$\forall a\in A,a\circ a=a$；

冪幺律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，i是$A$在$\circ$下的幺元， 則：稱$\circ$滿足冪幺律，若$\circ$滿足：$\forall a\in A,a\circ a=i$（顯然此時每個元素都是它自己的逆元）；

冪零律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，z是$A$在$\circ$下的零元， 則：稱$\circ$滿足冪零律，若$\circ$滿足：$\forall a\in A$，有$a\circ a=z$（顯然此時每個元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律

設$\circ$: $A\times A\to A$和$\diamond$: $A\times A\to A$是集合$A$上的兩個二元運算，則：

• 稱$\circ$對$\diamond$ 滿足左分配律，若$\circ$，$\diamond$ 滿足：$\forall a,b,c\in A$，有$a\circ (b\diamond c)=a\circ b\diamond a\circ c$；
• 稱$\circ$對$\diamond$ 滿足右分配律，若$\circ$，$\diamond$ 滿足：$\forall a,b,c\in A$，有$(b\diamond c)\circ a=b\circ a\diamond c\circ a$；
• 稱$\circ$對$\diamond$ 滿足分配律，若$\circ$對$\diamond$ 滿足左分配律以及右分配律；