割圆八线
割圆八线是割圆术之一,与三角学和三角函数相关,主要用于测量。八线指割圆有八个线段,分别为正弦、馀弦、正切、馀切、正割、馀割、正矢、馀矢。[1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/%E5%89%B2%E5%9C%93%E5%85%AB%E7%B6%AB.svg/220px-%E5%89%B2%E5%9C%93%E5%85%AB%E7%B6%AB.svg.png)
大明崇祯历书,有割圆八线表,其列举了各线的数值,相当于一张三角函数表。而大清梅文鼎,亦有著作《平三角举要》,其主要讲述三角学,其中也有使用到割圆八线的概念。[2][3]
割圆八线与历法有关。其之所以跟历法有关是因为圭表求日影,以定季节。天文计算也会用到割圆八线。
说明
编辑为了方便说明割圆八线,一圆以一条过圆心的水平线和一条过圆心的铅直将圆评分成四份,每份有一个直角,圆边就是弧。
以分割出的四份中,左上角的那一份为例,即丁丙庚的部份。圆心直角在丁。从圆心射出一条斜的射线,交圆周于乙,并从乙向外持续延伸。如此一来,直角就被分成了两份,靠近x轴的那一份称为正角,另一份称为馀角。[3]而正角一侧的圆周上的弧称为正弧,即弧线乙丙;馀角一侧的圆周上的弧称为馀弧,即弧线乙庚。[4]
割圆的图像结构与射箭类似,弓有弧、弦和矢。弦为扣在弧上下的直线,而矢就是箭,是横放,以备射向目标。射箭时张弓,扣矢拉弦,弦矢的端点就有两个角,弦线化为斜线。
算经借为割圆之用。直线划过圆称为弦,有如弓的弦状。弓弦未拉时是铅垂线,即线段甲乙。弓弦拉斜线到圆心,就是线段乙丁,为圆的半径。而丙丁横线,就矢的方向。割圆叫与圆周相切的线,称为切线。丙戊和庚辛都是切线。
正角方向的弦,叫正弦,即线段甲乙。线段甲乙和线段丙丁,相交成直角。相切到到圆周切点为丙的切线,和斜线相交在戊,丙戊这条铅垂线称为正切。斜线丁戊则线称正割。线段甲丙,有如未张弓的矢,称为正矢。
这样就得出正弦、正切、正割、正矢。
类似地,可以用如上的概念在馀角上做一遍得到馀弦、馀切、馀割、馀矢,过程等同于横直倒转。
割圆八线在零度与直角之间的线长由下表给出:
线名 | 线 | 正角为零度
馀角为直角 |
正角为直角
馀角为零度 |
---|---|---|---|
正弦 | 甲乙 | 零 | 半径 |
正切 | 丙戊 | 零 | 同正割,无穷大 |
正割 | 丁戊 | 半径 | 同正切,无穷大 |
正矢 | 甲丙 | 零 | 半径 |
馀弦 | 乙己 | 半径 | 零 |
馀切 | 庚辛 | 同馀割,无穷大 | 零 |
馀割 | 丁辛 | 同馀切,无穷大 | 半径 |
馀矢 | 己庚 | 半径 | 零 |