割圓八線是割圓術之一,與三角學和三角函數相關,主要用於測量。八線指割圓有八個線段,分別為正弦餘弦正切餘切、正割、餘割、正矢、餘矢。[1]

割圓八線

大明崇禎曆書,有割圓八線表,其列舉了各線的數值,相當於一張三角函數表。而大清梅文鼎,亦有著作《平三角舉要》,其主要講述三角學,其中也有使用到割圓八線的概念。[2][3]

割圓八線與曆法有關。其之所以跟曆法有關是因為圭表求日影,以定季節。天文計算也會用到割圓八線。

說明

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弓上了弦,但未張的形狀。弦為鉛垂線
 
如射箭張弓,橫為矢向,弦化為斜線

為了方便說明割圓八線,一圓以一條過圓心的水平線和一條過圓心的鉛直將圓評分成四份,每份有一個直角,圓邊就是弧。

以分割出的四份中,左上角的那一份為例,即丁丙庚的部份。圓心直角在丁。從圓心射出一條斜的射線,交圓周於乙,並從乙向外持續延伸。如此一來,直角就被分成了兩份,靠近x軸的那一份稱為正角,另一份稱為餘角。[3]而正角一側的圓周上的弧稱為正弧,即弧線乙丙;餘角一側的圓周上的弧稱為餘弧,即弧線乙庚。[4]

割圓的圖像結構與射箭類似,弓有弧、弦和矢。弦為扣在弧上下的直線,而矢就是箭,是橫放,以備射向目標。射箭時張弓,扣矢拉弦,弦矢的端點就有兩個角,弦線化為斜線。

算經借為割圓之用。直線劃過圓稱為弦,有如弓的弦狀。弓弦未拉時是鉛垂線,即線段甲乙。弓弦拉斜線到圓心,就是線段乙丁,為圓的半徑。而丙丁橫線,就矢的方向。割圓叫與圓周相切的線,稱為切線。丙戊和庚辛都是切線。

正角方向的弦,叫正弦,即線段甲乙。線段甲乙和線段丙丁,相交成直角。相切到到圓周切點為丙的切線,和斜線相交在戊,丙戊這條鉛垂線稱為正切。斜線丁戊則線稱正割。線段甲丙,有如未張弓的矢,稱為正矢。

這樣就得出正弦、正切、正割、正矢。

類似地,可以用如上的概念在餘角上做一遍得到餘弦、餘切、餘割、餘矢,過程等同於橫直倒轉。

割圓八線在零度與直角之間的線長由下表給出:

線名 正角為零度

餘角為直角

正角為直角

餘角為零度

正弦 甲乙 半徑
正切 丙戊 同正割,無窮大
正割 丁戊 半徑 同正切,無窮大
正矢 甲丙 半徑
餘弦 乙己 半徑
餘切 庚辛 同餘割,無窮大
餘割 丁辛 同餘切,無窮大 半徑
餘矢 己庚 半徑

參見

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參考文獻

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  1. ^ 數說新語. 生活通識. {開學文化事業股份有限公司. 2014: 114. ISBN 9789868926462. 
  2. ^ 梅文鼎. 測算名義. 《平三角舉要》. 
  3. ^ 3.0 3.1 彭良禎. 《平三角舉要》與《方圓羃積》初探. HPM通訊 (國立臺灣師範大學數學系). [2023-11-05]. (原始內容存檔於2013-08-04). 
  4. ^ 方愷. 平三角附測量 (PDF). 代數通藝錄 (成文堂刊本). 1890, 卷十三 [2023-11-06]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-03-26).