正切的符号为 ,源于英文tangent。该符号最早由数学家T.芬克所采用。
直角三角形中编辑
直角三角形,∠C為直角,∠A 的角度為
, 對於 ∠A 而言,a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
在直角三角形中,一个锐角的正切定义为它的對邊与鄰邊的比值,也就是:
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可以發現其定義和餘切函數互為倒數。
直角坐标系中编辑
设 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角, 是角的终边上一点, 是P到原点O的距离,则α的正切定义为:
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单位圆定义编辑
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交,並令这个交点為y。另原點為O。做一直線,y點,垂直於 ,並與单位圆相切,令直線與x軸的交點,則此點與y點之距離為正切比值。
单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于 或小于 的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,有些三角函數变成了周期为 的周期函数;但由於正切是切線,再绕单位圆旋转時,會出現周期是 ,所以正切是周期为π的周期函数:
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对于任何角度 和任何整数 。
正切函數也可以使用泰勒展開式定義
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其中 為伯努利數。
微分方程定义编辑
的微分是 的平方
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另外
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所以可以用
- 來定義。
用其它三角函数来表示正切编辑
函數
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sin
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cos
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tan
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cot
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sec
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csc
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正切的有限多项和编辑
设 ,对于 。设 是变量 , , 的 次基本对称多项式。则
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项的数目依赖于 。例如,
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并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。