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正切
Tan proportional.svg
性質
奇偶性
定義域 {x|x≠kπ+π/2,k∈Z}
到達域 (-∞,∞)
周期 π
特定值
當x=0 0
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值
最小值 -∞
其他性質
渐近线 x = (2k + 1)π/2
不動點 0
k是一個整數

正切(Tangent,,东欧国家将其写作tg)是三角函数的一种。它的值域是整个实数集定义域落在。它是周期函数,其最小正周期。正切函数是奇函数

符号说明编辑

正切的符号为 ,源于英文tangent。该符号最早由数学家T.芬克所采用。

定义编辑

直角三角形中编辑

 
直角三角形,∠C為直角,∠A 的角度為  , 對於 ∠A 而言,a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

直角三角形中,一个锐角的正切定义为它的對邊与鄰邊的比值,也就是:

 

可以發現其定義和餘切函數互為倒數

直角坐标系中编辑

 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角 是角的终边上一点, 是P到原点O的距离,则α的正切定义为:

 

单位圆定义编辑

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交,並令这个交点為y。另原點為O。做一直線,y點,垂直於 ,並與单位圆相切,令直線與x軸的交點,則此點與y點之距離為正切比值。

 
单位圆上的正切

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 或小于 的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,有些三角函數变成了周期为 周期函数;但由於正切是切線,再绕单位圆旋转時,會出現周期是 ,所以正切是周期为π的周期函数

 

对于任何角度 和任何整数 

級數定義编辑

正切函數也可以使用泰勒展開式定義

 

其中 伯努利數

微分方程定义编辑

 的微分是 的平方

 

另外

 

所以可以用

 來定義。

指数定义编辑

 

恒等式编辑

用其它三角函数来表示正切编辑

函數 sin cos tan cot sec csc
             

角的和差编辑

 

正切的有限多项和编辑

 ,对于 。设 是变量    基本对称多项式。则

 

项的数目依赖于 。例如,

 

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

半角公式编辑

 

二倍角编辑

 

三倍角编辑

 

正切定理编辑

 
一个三角形。它的三个内角及其对边。

平面三角形中,正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即:

 
 
 

用途编辑

物理學编辑

一物體在斜面上剛開始滑動時,其靜摩擦係數為斜面傾角正切值。

參見编辑