反向欧拉法

数值分析与科学计算中，反向欧拉法或隐式欧拉法是求解常微分方程最基本的数值方法之一。其类似于（标准）欧拉法，不过是一种隐式方法。反向欧拉法的时间误差为一阶。

描述

考虑常微分方程

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$

有初值$y(t_{0})=y_{0}.$此处函数$f$与初值数据$t_{0}$、$y_{0}$均未知；函数$y$取决于实变量$t$，同样未知。数值方法产生一个序列$y_{0},y_{1},y_{2},\ldots$，使$y_{k}$近似于$y(t_{0}+kh)$，其中$h$称为步长。

反向欧拉法计算近似值的方法是

$y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).$

异于（正向）欧拉法，后者用的是$f(t_{k},y_{k})$而非$f(t_{k+1},y_{k+1})$。

反向欧拉法是一种隐式方法：新近似值$y_{k+1}$在方程两侧都出现，因此该方法要求解未知$y_{k+1}$的代数方程。对非刚性问题，这可采用定点迭代法：

$y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).$

若序列收敛（在给定精度内），则该方法会将其极限作为新的近似 $y_{k+1}$。

或者，也可以使用牛顿–拉斐森法求解代数方程。

推导

将微分方程${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$自$t_{n}$积分到$t_{n+1}=t_{n}+h$，有

$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.$

现在用右手矩形法近似计算右式的积分：

$y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).$

最后，用$y_{n}$应近似于$y(t_{n})$的性质，就得到了反向欧拉法公式。

若用左手矩形法，同样的推导会得到（标准）欧拉法。

分析

圆盘外的粉色区域是反向欧拉法的稳域。

用大O符号表示反向欧拉法的局部截断误差（LTE）（定义为迭代一步产生的误差）为$O(h^{2})$。特定时刻$t$的误差为$O(h^{2})$，这是说该方法的阶数为1。一般来说，具有$O(h^{k+1})$LTE的方法定义为k阶。

反向欧拉法的绝对稳域是以1为圆心，半径为1的圆盘在平面内的补集，如图所示。这包括整个复平面的左半部，使其适于求解刚性方程。事实上，反向欧拉法甚至是L-稳定的。

利用反向欧拉法求解离散稳定系统的区域是半径为0.5的圆，位于z平面的(0.5, 0)处。

推广与改进

反向欧拉法是（前向）欧拉法的一种变体。其他变体还有半隐式欧拉法和指数欧拉法。

反向欧拉法可视为1阶段的龙格-库塔法，可用Butcher表描述：

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

该方法也可看作是1步的线性多步法，是Adams–Moulton法族中的第一个方法，也是后向微分法的第一个方法。

另见

• 克兰克-尼科尔森方法

参考文献

• Butcher, John C., Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, 2003, ISBN 978-0-471-96758-3 .