劉維爾–阿諾德定理

動力系統理論中，劉維爾–阿諾德定理指出，若在具有n自由度的哈密頓力學系統中，存在n個泊松交換的獨立第一運動積分，且能級集是緊的，則就存在到作用量-角度坐標的正則變換，變換後的哈密頓量只依賴於作用量坐標，角度坐標隨時間線性變化。因此，若能分離級同時集（level simultaneous set）條件，系統的運動方程便可通過化方求解。定理得名於約瑟夫·劉維爾和弗拉基米爾·阿諾德。^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^{（pp. 270–272）}

歷史

定理的原始形式是劉維爾於1853年針對 $\mathbb {R} ^{2n}$ 上具有規範辛結構的函數證明的。阿諾德在1974年出版的教科書《經典力學的數學方法》中給出了到辛流形的推廣。

陳述

初步定義

令 $(M^{2n},\omega )$ 是 $2n$ 維辛流形，具有辛結構 $\omega$ 。

$M^{2n}$ 上的可積系統是 $M^{2n}$ 上的n個函數組成的集合，記作 $F=(F_{1},\cdots ,F_{n})$ ，滿足

（一般）線性獨立：稠密集上 $dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0$
相互泊松交換：泊松括號 $(F_{i},F_{j})$ 對任意一對 $i,j$ 都為0

泊松括號是每個 $F_{i}$ 對應的哈密頓向量場的李氏括號。簡單說，若 $X_{H}$ 是對應於光滑函數 $H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R}$ 的哈密頓向量場，則對兩光滑函數 $F,G$ ，泊松括號是 $(F,G)=[X_{F},X_{G}]$ 。

若 $df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0$ ，則稱點p是正則點（regular point）。

可積系統定義了函數 $F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 。 $L_{\mathbf {c} }$ 表示函數 $F_{i}$ 的水平集 $L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},$ 或記作 $L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )$ 。

若給 $M^{2n}$ 附加一個區分函數H的結構，則當H可以補全（completed）為可積系統時（即存在可積系統 $F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})$ ），哈密頓系統 $(M^{2n},\omega ,H)$ 是可積的。

定理

若 $(M^{2n},\omega ,F)$ 是可積哈密頓系統、p是正則點，則定理描述了正則點的像 $c=F(p)$ 的水平集 $L_{c}$ ：

$L_{c}$ 是光滑流形，在由 $H=F_{1}$ 引發的哈密頓流作用下不變（因此在可積系統的任何元素引發的哈密頓流下也不變）。
若 $L_{c}$ 更緊且連通，則就微分同胚於N-環面 $T^{n}$ 。
$L_{c}$ 上存在（局部）坐標 $(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})$ ，使得 $\omega _{i}$ 在水平集上為常，而 ${\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}$ 。這些坐標稱作作用量-角度坐標。

劉維爾可積系統例子

可積的哈密頓系統可稱作「劉維爾意義上可積」或「劉維爾可積」。比較知名的例子如下。

一些記號是文獻中的標準符號。考慮的辛流形是 $\mathbb {R} ^{2n}$ 時，其坐標通常寫作 $(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$ ，規範辛形式是 $\omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}$ 。除非另有說明，否則本節將假設這些參數。

哈密頓諧振子： $(\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)$ ，其中 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)$ 。定義 $H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}$ ，可積系統是 $(H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})$ 。

連心力系統 $(\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)$ ，其中 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})$ ，U是某勢函數。定義角動量 $\mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q}$ ，可積系統是 $(H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})$ 。