刘维尔–阿诺德定理

动力系统理论中,刘维尔–阿诺德定理指出,若在具有n自由度哈密顿力学系统中,存在n个泊松交换的独立第一运动积分,且能级集是紧的,则就存在到作用量-角度坐标正则变换,变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标,角度坐标随时间线性变化。因此,若能分离级同时集(level simultaneous set)条件,系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔弗拉基米尔·阿诺德[1][2][3][4][5](pp. 270–272)

历史

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定理的原始形式是刘维尔于1853年针对 上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。

陈述

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初步定义

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  维辛流形,具有辛结构 

 上的可积系统是 上的n个函数组成的集合,记作 ,满足

  • (一般)线性独立:稠密集上 
  • 相互泊松交换:泊松括号 对任意一对 都为0

泊松括号是每个 对应的哈密顿向量场李氏括号。简单说,若 是对应于光滑函数 的哈密顿向量场,则对两光滑函数 ,泊松括号是 

 ,则称点p是正则点(regular point)。

可积系统定义了函数  表示函数 的水平集   或记作 

若给 附加一个区分函数H的结构,则当H可以补全(completed)为可积系统时(即存在可积系统 ),哈密顿系统 是可积的。

定理

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 是可积哈密顿系统、p是正则点,则定理描述了正则点的像 的水平集 

  •  是光滑流形,在由 引发的哈密顿流作用下不变(因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变)。
  •  更紧且连通,则就微分同胚于N-环面 
  •  上存在(局部)坐标 ,使得 在水平集上为常,而 。这些坐标称作作用量-角度坐标

刘维尔可积系统例子

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可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。

一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是 时,其坐标通常写作 ,规范辛形式是 。除非另有说明,否则本节将假设这些参数。

  • 哈密顿谐振子 ,其中 。定义 ,可积系统是 
  • 连心力系统 ,其中 U是某势函数。定义角动量 ,可积系统是 

另见

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参考文献

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  1. ^ J. Liouville, « Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853 », JMPA, 1855, p. 137-138, pdf页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ Fabio Benatti. Dynamics, Information and Complexity in Quantum Systems. Springer Science & Business Media. 2009: 16. ISBN 978-1-4020-9306-7. 
  3. ^ P. Tempesta; P. Winternitz; J. Harnad; W. Miller Jr; G. Pogosyan; M. Rodriguez (编). Superintegrability in Classical and Quantum Systems. American Mathematical Society. 2004: 48. ISBN 978-0-8218-7032-7. 
  4. ^ Christopher K. R. T. Jones; Alexander I. Khibnik (编). Multiple-Time-Scale Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. 2012: 1. ISBN 978-1-4613-0117-2. 
  5. ^ Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics . Springer. 1989. ISBN 9780387968902.