次導數
次導數(英語:subderivative)、次微分(英語:subdifferential)、次切線(英語:subtangent lines)和次梯度(英語:subgradient)的概念出現在凸分析,也就是凸函數的研究中。要注意的是,次切線(subtangent lines)和次切距(subtangent)是不同的。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Subderivative_illustration.png/220px-Subderivative_illustration.png)
設f:I→R是一個實變量凸函數,定義在實數軸上的開區間內。這種函數不一定是處處可導的,例如絕對值函數f(x)=|x|。但是,從右面的圖中可以看出(也可以嚴格地證明),對於定義域中的任何x0,我們總可以作出一條直線,它通過點(x0, f(x0)),並且要麼接觸f的圖像,要麼在它的下方。這條直線的斜率稱為函數的次導數。
定義
編輯凸函數f:I→R在點x0的次導數,是實數c使得:
對於所有I內的x。我們可以證明,在點x0的次導數的集合是一個非空閉區間[a, b],其中a和b是單側極限
它們一定存在,且滿足a ≤ b。
所有次導數的集合[a, b]稱為函數f在x0的次微分。
例子
編輯考慮凸函數f(x)=|x|。在原點的次微分是區間[−1, 1]。x0<0時,次微分是單元素集合{-1},而x0>0,則是單元素集合{1}。
性質
編輯- 凸函數f:I→R在x0可導,當且僅當次微分只由一個點組成,這個點就是函數在x0的導數。
- 點x0是凸函數f的最小值,當且僅當次微分中包含零,也就是說,在上面的圖中,我們可以作一條水平的「次切線」。這個性質是「可導函數在極小值的導數是零」的事實的推廣。
次梯度
編輯次導數和次微分的概念可以推廣到多元函數。如果f:U→ R是一個實變量凸函數,定義在歐幾里得空間Rn內的凸集,則該空間內的向量v稱為函數在點x0的次梯度,如果對於所有U內的x,都有:
所有次梯度的集合稱為次微分,記為∂f(x0)。次微分總是非空的凸緊集。
參見
編輯參考文獻
編輯- Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.