亨澤爾引理

亨澤爾引理（英語：Hensel's Lemma）是數學中模算術的一個結論。亨澤爾引理說明，如果一個模p（p是給定的質數）的多項式方程有一個單根，則可以通過這個根求出該方程在模p的更高次方時的根。在完備交換環（包括p進數）中，亨澤爾引理被看作是類似於牛頓法的漸進求根方法。由於p進數分析在某些方面比實分析更加簡單，亨澤爾引理可以加強為多項式方程有根的判定方法。

定理內容

設$f(x)$為整系數多項式，$k$為不少於2的整數，$p$為質數。若整數$r$是下面同餘式的根：

$f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}.$

對於

$f(r+tp^{k-1})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ （I）

，則有：

• 若$f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}$，則存在唯一的整數$0\leq t\leq p-1$使得（I）成立。

$tf'(r)\equiv -(f(r)/p^{k-1}){\pmod {p}}.\,$

• 若$f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ 且 $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ ，則（I）對任意整數t成立。
• 若$f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ 但 $f(r)\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}$，則（I）無整數解。

證明

亨澤爾引理可用泰勒公式證明。

$f(r+tp^{k-1})=f(r)+tp^{k-1}f'(r)+{\frac {1}{2}}t^{2}p^{2(k-1)}f''(r)+{\frac {1}{6}}t^{3}p^{3(k-1)}f'''(r)+...$

因此可見，由第三項開始，都必能被$p^{k}$整除。因此：

$f(r+tp^{k-1})\equiv f(r)+tp^{k-1}f'(r){\pmod {p^{k}}}$

推廣

若$K$為完備局域。設 ${\mathcal {O}}_{K}$為$K$的整數環，設$f(x)$為系數在 ${\mathcal {O}}_{K}$的多項式，若存在 $\alpha _{0}\in {\mathcal {O}}_{K}$使得

$|f(\alpha _{0})|<|f'(\alpha _{0})|^{2}$

則$f(x)$有根$\alpha \in K$。

且：

1. $\alpha _{i+1}=\alpha _{i}-{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}$ 趨近$\alpha$
2. $|\alpha -\alpha _{0}|\leq |{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}|<1$

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考

• http://mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• http://eom.springer.de/h/h046930.htm （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• https://web.archive.org/web/20071206223035/http://planetmath.org/encyclopedia/HenselsLemma.html