數學訊號處理中,解析訊號(英語:analytic signal)是沒有負頻率英語negative frequency分量的複值函數。[1] 解析訊號的實部和虛部是由希爾伯特轉換相關聯的實值函數。

實值函數的解析表示解析訊號,包含原始函數和它的希爾伯特轉換。這種表示促進了許多數學轉換的發展。基本的想法是,由於頻譜的埃爾米特對稱,實值函數的傅立葉轉換(或頻譜)的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理複值函數的話,這些負頻率分量可以丟棄而不損失資訊。這使得函數的特定屬性更易理解,並促進了調制和解調技術的衍生,如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量(也就是它仍是「解析函數」),從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是向量概念的一個推廣:[2] 向量限制在非時變的振幅、相位和頻率,解析訊號允許有時變參數。

定義

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創建一個解析訊號的遞移函數

  是一個實值函數,其傅立葉轉換為   為一於   埃爾米特對稱之函數:

    其中,  複共軛

函數:

 

其中:

  •  單位階躍函數
  •  符號函數

僅包含  非負頻率分量。而且由於   的埃爾米特對稱性,該運算是可逆的:

 


 解析訊號  的傅立葉反轉換:

 

其中

  •   希爾伯特轉換
  •  卷積符號;
  •  虛數單位

例子

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    其中   

於是:

 
   第三個等式為歐拉公式


歐拉公式的一個推論是   一般來說,簡單正弦曲線的解析表示是通過用複指數表示它,丟棄負頻率英語negative frequency分量,並對正頻率分量加倍得到的。正弦曲線之和的解析表示等於單個正弦波的解析表示之和。

這裏我們使用歐拉公式來識別並丟棄負頻率。

 

於是:

 

這是使用希爾伯特轉換方法去除負頻率分量的另一個例子。我們注意到,對於複值函數  ,沒有什麼能阻止我們計算  。但它可能不是一種可逆的表示,因為原頻譜不總是對稱的。所以除了此例以外,一般討論都假設   為實值函數。

 , 其中  .

於是:

 
 

負頻率分量

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由於  ,恢復負頻率分量就是簡簡單單丟棄   這件事可能與直覺不太一致。我們還可以注意到複共軛   由負頻率分量構成。因此   恢復了被減弱的正頻率分量。

應用

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包絡和瞬時相位

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一個函數(藍色)和它的解析表示的模(紅),顯示出包絡現象。

解析訊號也可以表示在其隨時間變化的振幅和相位(極坐標):

 

其中:

  •   稱作瞬時振幅包絡英語envelope (waves)
  •   稱作瞬時相位

在附圖中,藍色曲線描繪  ,紅色曲線描繪對應的  

解纏的瞬時相位的時間導數的單位為rad/s,稱作瞬時角頻率

 

因此,瞬時頻率(單位赫茲)為:

   [3]

瞬時振幅、瞬時相位與頻率在一些應用中用於測量和檢測的訊號的局部特徵。訊號的解析表示的另一個應用與調制訊號的解調有關。極坐標方便將振幅調制和相位(或頻率)調制的影響分開,對解調某些種類的訊號很有效。

復包絡/基帶

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解析訊號通常都會在頻率上移位(下轉換)到 0 Hz,可能會產生[非對稱]負頻率分量:

 

其中   是任意參考角頻率。[2]

這個函數有不同的名稱,如復包絡基帶。復包絡不是唯一的;它是由   的選取決定的。這個概念通常用於處理帶通訊號英語passband。如果   是調制訊號,  可能會等於它的載波頻率英語carrier frequency

在其他情況下,  選在所需通帶的中間。因此簡單的實系數低通濾波器就可以去除感興趣的部分。另一個動機是減少最高頻率,從而降低最小的無混疊取樣率。頻移不加大覆信號表示的數學處理難度。因此從這個意義上說,下轉換的訊號仍然是解析訊號。但是恢復實值表示不再是簡簡單單提取實部的問題了。為了避免混疊可能需要上轉換,若訊號已被(離散時間)取樣,還可能需要插值升採樣)。

若選取的   大於   的最高頻率,則   沒有正頻率。在這種情況下,提取實部並恢復它們,但順序要相反;低頻分量現在變為高頻分量,反之亦然。這可用於解調一種叫做下邊帶單邊帶訊號。

參考頻率的其他選擇:

有時   的選取是要最小化

 

另外,[4]   選取還可以是要最小化線性逼近解纏的瞬時相位   的均方誤差:

 

再或者(對最佳  ):

 

在訊號處理領域,維格納–威利分佈定義中需要解析訊號,因此該方法在實際應用中具有理想特性。[5]

有時復包絡與復振幅同義;[a][b] 其他時候它作為一種時間無關的推廣形式。[c] 它們的關係並不像實值的情形那樣;變化的包絡英語Envelope (waves)產生恆定的振幅

參見

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應用

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註釋

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  1. ^ "the complex envelope (or complex amplitude)"[6]
  2. ^ "the complex envelope (or complex amplitude)", p.586 [7]
  3. ^ "Complex envelope is an extended interpretation of complex amplitude as a function of time." p.85[8]

參考文獻

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  1. ^ ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)[7/16/2014 1:07:57 PM]
  2. ^ 2.0 2.1 Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
  3. ^ B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
  4. ^ Justice, J. Analytic signal processing in music computation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684 [2016-08-05]. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1979.1163321. (原始內容存檔於2014-10-20). 
  5. ^ B. Boashash, 「Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis」, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
  6. ^ Hlawatsch, Franz; Auger, François. Time-Frequency Analysis. John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831 (英語). 
  7. ^ Driggers, Ronald G. Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024. CRC Press. 2003-01-01 [2016-08-05]. ISBN 9780824742508. (原始內容存檔於2014-10-21) (英語). 
  8. ^ Okamoto, Kenʼichi. Global Environment Remote Sensing. IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015 (英語). 

延伸閱讀

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  • Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
  • Frederick W. King, Hilbert Transforms, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
  • B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003.

外部連結

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