可除群

在群论中，一个可除群是一个满足以下条件的阿贝尔群 $G$：对每个正整数 $n$ 及元素 $g\in G$，存在 $h\in G$ 使得 $nh=g$。等价的表法是：$\forall n>0,\;nG=G$。事实上，可除群恰好是 $\mathbb {Z}$ 上的内射模，所以有时也称之为内射群。

例子

• 有理数 $\mathbb {Q}$ 对加法构成可除群。
• 一般而言，任何 $\mathbb {Q}$-向量空间对加法都构成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$。
• p-Prüfer 群 $\mathbb {Z} (p^{\infty }):=\{e^{\frac {2i\pi }{p^{m}}}:m\in \mathbb {N} _{\geq 0}\}$ 是可除群
• 在模型论中，任何存在性封闭的群皆可解。

可除群结构定理

令 $G$ 为可解群，则其挠子群 $\mathrm {Tor} (G)$ 亦可除。由于可解群是 $\mathbb {Z}$-内射模，$\mathrm {Tor} (G)$ 是直和项，即：

$G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).$

商群 $G/\mathrm {Tor} (G)$ 亦可解，而且其中没有挠元，所以它是 $\mathbb {Q}$-上的向量空间：存在集合 $I$ 使得

$G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.$

挠子群的结构稍复杂，然而可以证明对所有素数 $p$，存在 $I_{p}$ 使得

$(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},$

其中 $\mathrm {Tor} (G))_{p}$ 是 $\mathrm {Tor} (G)$ 是的 $p$-准素部分。于是：

$G=(\oplus _{P}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})})\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.$

推广

一个环 $R$ 上的左可除模是满足 $\forall r\neq 0\in R,\;rM=M$ 的模 $M$。可除群不外是可除 $\mathbb {Z}$-模。主理想域上的可除模恰好是内射模。