整性

整性是交换代数中的概念，用于描述在有理数域的某些扩域中，某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性（是否为整元素）本质上只依赖于环的概念。整性与环的整扩张推广了代数数与代数扩张的概念。

定义

以下所论的环皆为含单位元的交换环。

设有环 $A$ 、 $B$ ， $A$ 为 $B$ 的子环。设 $t$ ∈ $B$ 。若存在以 $A$ 中元素为系数的首一多项式 $P$ ∈ $A$ $[X]$ ，使得 $P$ $(t) =$ 0，则称 $t$ 是 $A$ 上的整元素。如果 $B$ 的每个元素都是 $A$ 上的整元素，则称 $B$ 为 $A$ 的整扩张。

由有限性刻划

假设同上。环的乘法与加法运算赋予 $B$ 自然的 $A$ -模结构。对于一个元素 $b\in B$ ，下述条件彼此等价：

$b$ 在 $A$ 为整。
子环 $A[b]$ 是有限生成的 $A$ -模。
存在包含 $A\cup \{b\}$ 的子环 $C\subset B$ ，而且 $C$ 是有限生成的 $A$ -模。

此命题最常见的证明是利用关于行列式的凯莱-哈密顿定理。

闭包性质

（整闭包）利用有限性的刻划，可知 $A$ 上的整元构成 $B$ 的子环，称为 $A$ 在 $B$ 中的整闭包。
（可递性）考虑环扩张 $A\subset B\subset C$ ，若 $B$ 是 $A$ 的整扩张，而 $c\in C$ 在 $B$ 上为整，则它在 $A$ 上为整。特别是：若 $B/A$ 、 $C/B$ 皆为整扩张，则 $C/A$ 亦然。

整同态

在整性的定义中，子环条件 $A\subset B$ 可以放宽为一个同态 $f:A\to B$ ， $b\in B$ 在 $A$ 上的整性定义为它对同态像 $f(A)$ 的整性，整扩张的定义可以类似地推广。透过同态 $f:A\to B$ ，同样可赋予 $B$ 一个 $A$ -模结构，此时有限性判准依然成立。

文献

Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9