整性交换代数中的概念,用于描述在有理数的某些扩域中,某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性(是否为整元素)本质上只依赖于的概念。整性与环的整扩张推广了代数数代数扩张的概念。

定义

编辑

以下所论的环皆为含单位元的交换环

设有环ABAB的子环。设tB。若存在以A中元素为系数的首一多项式PA[X],使得P(t) = 0,则称tA上的整元素。如果B的每个元素都是A上的整元素,则称BA的整扩张。

由有限性刻划

编辑

假设同上。环的乘法与加法运算赋予   自然的  -模结构。对于一个元素  ,下述条件彼此等价:

  1.    为整。
  2. 子环   是有限生成的  -
  3. 存在包含   的子环  ,而且   是有限生成的  -模。

此命题最常见的证明是利用关于行列式凯莱-哈密顿定理

闭包性质

编辑
  • (整闭包)利用有限性的刻划,可知   上的整元构成   的子环,称为    中的整闭包。
  • (可递性)考虑环扩张  ,若    的整扩张,而    上为整,则它在   上为整。特别是:若    皆为整扩张,则   亦然。

整同态

编辑

在整性的定义中,子环条件   可以放宽为一个同态     上的整性定义为它对同态像   的整性,整扩张的定义可以类似地推广。透过同态  ,同样可赋予   一个  -模结构,此时有限性判准依然成立。

文献

编辑
  • Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9