权重

數學術語

权重函数(英语:Weight function)是执行求和求积或求平均值等时候用来给不同元素施加不同权重的函数。

应用权重函数的结果是加权[注 1]和或加权平均值。权重函数在统计学分析学中经常出现,并且与测度的概念密切相关。权重函数可用于离散和连续的设置,构建称为加权微积分或元微积分的微积分系统。

在量测时,因测量值精度的不同,而在平差计算中采取的权重不同;若测量值的精度较高,则平差计算时也应占有较高的“比重”,平差法将它称为“权”。[注 2]

权的基本公式

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的基本公式为

 

式中, 是任意常数, 中误差。由此可见,中误差平方成反比,即精度越高,权越大。应用上式求一组观测值的权 时,必须采用同一个 值。

由该定义式,可以看出,当 时, ,所以 等于1的观测值的中误差,通常称等于1的权为单位权为1的观测值为单位权观测值。而 为单位权观测值的中误差,简称为单位权中误差

可以写出各观测值的权之间的比例关系:

 

可知,一组观测值的权之比等于他们的中误差平方的倒数之比。不论假设 取何值,这组权之间的比例关系不变。所以,权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算p值来说,不在乎权本身数值的大小,而在于确定他们之间的比例关系。 可以是同一个量的观测中误差,也可以是不同量的观测中误差,即权可以反映同一量的若干个观测值之间的精度高低,也可以反映不同量的观测值之间的精度高低。

普通测量中的定权

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同精度丈量时,边长的权与边长成反比。

当每公里水准测量的精度相同时,水准路线观测高差的权与路线长度成反比。

当各测站观测高差的精度相同时,水准路线观测高差的权与测站数成反比。

由不同个数的同精度观测值求得得算术平均值,其权与观测值个数成正比。

观测值函数的权

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设有独立观测值  ,它们的标准差及权分别为  。令观测值函数为:

 

误差传播及定权公式,得

 

式中 是常量,用 表示,上式约去 后得

 

这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的表达式。这个表达式成为权倒数传播律

广义算术平均值的权,等于观测值权之和。

 

注释

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  1. ^ 加权的意思就是乘以权重,亦即乘以系数的意思
  2. ^ 此“比重”是相对的数值,“权”亦是相对的数值。当精度越高,权就越大