测度论中,法图引理说明了一个函数列的下极限积分(在勒贝格意义上)和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图(Pierre Fatou),被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理勒贝格控制收敛定理

叙述

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 为一个测度空间 是一个实值的可测正值函数列。那么:

 

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限,函数的取值和积分可以是无穷大。

证明

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定理的证明基于单调收敛定理(非常容易证明)。设 为函数列 下极限。对每个正整数 ,逐点定义下极限函数:

 

于是函数列 单调递增并趋于 

任意 ,我们有 ,因此

 

于是

 

据此,由单调收敛定理以及下极限的定义,就有:

 

反向法图引理

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 测度空间 中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在  上可积的正值函数 ,使得对所有的 都有 ,那么

 

这里 只需弱可积,即 

证明:对函数列 应用法图引理即可。

推广

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推广到任意实值函数

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法图引理不仅对取正值的函数列成立,在一定限制条件下,可以扩展到任意的实值函数。令 测度空间 中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在 上可积的正值函数 ,使得对所有的 都有 ,那么

证明:对函数列 应用法图引理即可。

逐点收敛

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在以上的条件下,如果函数列在 μ-几乎处处逐点收敛到一个函数 ,那么

 

证明: 是函数列的极限,因此自然是下极限。此外,零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

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如果函数列在 依测度收敛 ,那么上面的命题仍然成立。

证明:存在 的一个子列使得

 

这个子列仍然依测度收敛到 ,于是又存在这个子列的一个子列在 μ-几乎处处逐点收敛 ,于是命题成立。

外部链接

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参考来源

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  • H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.