圆内接四边形的日本定理

在几何学中，圆内接四边形的日本定理指出，圆内接四边形内某些三角形的内心形成一个矩形。

任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的内心形成一个矩形。

具体而言，设□ABCD为任意圆内接四边形， M₁, M₂, M₃, M₄分别为三角形△ABD, △ABC, △BCD, △ACD内心，则M₁, M₂, M₃, M₄所构成的四边形为矩形。

证明1

□M₁M₂M₃M₄是矩形。

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|$

（以下称为$\alpha$角），因为这两个角都是弦${\overline {AD}}$的周角。

因为

${\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|&=180^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}}\\&=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}}\\&=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}\end{aligned}}$

由此可得，

$\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|=\left|\sphericalangle AM_{4}D\right|=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}$

由于这些角相等，$\square AM_{1}M_{4}D$是一个圆内接四边形。

根据圆内接四边形的性质，现在有$\left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|$

同样地，对于$\square DCM_{4}M_{3}$也成立：

$\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|$

角度相加，得到以下结果

$\left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|+\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}}=360^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{2}}={\underline {\underline {270^{\circ }}}}$

由于

$\sphericalangle M_{1}M_{4}M_{3}=270^{\circ }$

所以

$\sphericalangle M_{3}M_{4}M_{1}=90^{\circ }$

以上对于点$M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$之间的其他角度也同样成立，它们都是$90^{\circ }$。

因此，$\square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}$是一个矩形。证毕。

证明2

根据Thébault定理(3)有如下结论：

定理 — 

Thébault定理(3)

给定任意三角形$ABC$，$BC$上任意一点$M$。作两个圆，均与$AM$、$BC$、外接圆相切。该两圆的圆心$P$、$Q$和三角形内心$I$三点共线共线，且

${\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

其中$\theta =\angle AMB$.

下面开始处理原题。

4个黄色圆$O_{cd}$、$O_{da}$、$O_{ab}$、$O_{bc}$.

先标记题目中四个三角形的内心是$I_{a}$、$I_{b}$、$I_{c}$、$I_{d}$.

假设对角线 AC 和 BD 交于 E.

与线段 AE、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{cd}$，

类似地，与线段 BE、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{da}$、与线段 CE、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{ab}$、与线段 DE、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{bc}$.

设 AE、BE 的夹角是$\theta$，根据上面的Thébault定理(3)有如下结论：

$O_{da}$、$I_{d}$、$O_{cd}$三点共线，且

${\frac {O_{cd}I_{d}}{I_{d}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

同理，$O_{ab}$、$I_{a}$、$O_{da}$三点共线，且

${\frac {O_{ab}I_{a}}{I_{a}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

所以，

$I_{a}I_{d}/\!/O_{ab}O_{cd}$

由于 $O_{cd}O_{ab}\perp O_{da}O_{bc}$ (因为它们沿着角 $E$ 的角平分线)，所以 $I_{a}I_{d}\perp I_{d}I_{c}$，所以 $I_{a}I_{b}I_{c}I_{d}$ 是矩形。证毕。

推广

过$M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$作四边形的对角线的平行线，形成一个平行四边形，由作图可知平行四边形为菱形，于是“与各对角线相切的内切圆半径之和相等”。

该定理可推广到圆内接多边形的日本定理。

证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。

又见

• 卡诺定理
• 算额
• 日本数学

参考

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
• Incenters in Cyclic Quadrilateral （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Cut-the-Knot
• Wataru Uegaki: "Japanese Theoremの起源と歴史" （页面存档备份，存于互联网档案馆） (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
• 笹部贞市郎. 几何学辞典: 问题解法. Archive.org. 第587题. 
• 沈文选. 第 14 章 1992~1993 年度试题的诠释, 第 1 节 圆内接四边形四顶点组成的四个三角形问题, 命题 6(3). 走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解(上) (PDF). : 405 [2024-06-19]. ISBN 9787560324418. 

外部链接

• gogeometry.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）