圓內接四邊形的日本定理

在幾何學中，圓內接四邊形的日本定理指出，圓內接四邊形內某些三角形的內心形成一個矩形。

任意圓內四邊形被對角線分成四個三角形（每條對角線分出兩個三角形）。這些三角形的內心形成一個矩形。

具體而言，設□ABCD為任意圓內接四邊形， M₁, M₂, M₃, M₄分別為三角形△ABD, △ABC, △BCD, △ACD內心，則M₁, M₂, M₃, M₄所構成的四邊形為矩形。

證明1

□M₁M₂M₃M₄是矩形。

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|$

（以下稱為$\alpha$角），因為這兩個角都是弦${\overline {AD}}$的周角。

因為

${\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|&=180^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}}\\&=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}}\\&=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}\end{aligned}}$

由此可得，

$\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|=\left|\sphericalangle AM_{4}D\right|=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}$

由於這些角相等，$\square AM_{1}M_{4}D$是一個圓內接四邊形。

根據圓內接四邊形的性質，現在有$\left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|$

同樣地，對於$\square DCM_{4}M_{3}$也成立：

$\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|$

角度相加，得到以下結果

$\left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|+\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}}=360^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{2}}={\underline {\underline {270^{\circ }}}}$

由於

$\sphericalangle M_{1}M_{4}M_{3}=270^{\circ }$

所以

$\sphericalangle M_{3}M_{4}M_{1}=90^{\circ }$

以上對於點$M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$之間的其他角度也同樣成立，它們都是$90^{\circ }$。

因此，$\square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}$是一個矩形。證畢。

證明2

根據Thébault定理(3)有如下結論：

定理 — 

Thébault定理(3)

給定任意三角形$ABC$，$BC$上任意一點$M$。作兩個圓，均與$AM$、$BC$、外接圓相切。該兩圓的圓心$P$、$Q$和三角形內心$I$三點共線共線，且

${\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

其中$\theta =\angle AMB$.

下面開始處理原題。

4個黃色圓$O_{cd}$、$O_{da}$、$O_{ab}$、$O_{bc}$.

先標記題目中四個三角形的內心是$I_{a}$、$I_{b}$、$I_{c}$、$I_{d}$.

假設對角線 AC 和 BD 交於 E.

與線段 AE、BE 及外接圓相切的圓的圓心記為$O_{cd}$，

類似地，與線段 BE、CE 及外接圓相切的圓的圓心記為$O_{da}$、與線段 CE、DE 及外接圓相切的圓的圓心記為$O_{ab}$、與線段 DE、AE 及外接圓相切的圓的圓心記為$O_{bc}$.

設 AE、BE 的夾角是$\theta$，根據上面的Thébault定理(3)有如下結論：

$O_{da}$、$I_{d}$、$O_{cd}$三點共線，且

${\frac {O_{cd}I_{d}}{I_{d}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

同理，$O_{ab}$、$I_{a}$、$O_{da}$三點共線，且

${\frac {O_{ab}I_{a}}{I_{a}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

所以，

$I_{a}I_{d}/\!/O_{ab}O_{cd}$

由於 $O_{cd}O_{ab}\perp O_{da}O_{bc}$ (因為它們沿著角 $E$ 的角平分線)，所以 $I_{a}I_{d}\perp I_{d}I_{c}$，所以 $I_{a}I_{b}I_{c}I_{d}$ 是矩形。證畢。

推廣

過$M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$作四邊形的對角線的平行線，形成一個平行四邊形，由作圖可知平行四邊形為菱形，於是「與各對角線相切的內切圓半徑之和相等」。

該定理可推廣到圓內接多邊形的日本定理。

證明了四邊形的情況後，可以把一般多邊形分成三角形進行歸納而立即證明一般情況。

又見

• 卡諾定理
• 算額
• 日本數學

參考

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
• Incenters in Cyclic Quadrilateral at Cut-the-Knot
• Wataru Uegaki: "Japanese Theoremの起源と歴史" (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
• 笹部貞市郎. 几何学辞典: 问题解法. Archive.org. 第587題. 
• 沈文選. 第 14 章 1992~1993 年度试题的诠释, 第 1 节 圆内接四边形四顶点组成的四个三角形问题, 命题 6(3). 走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解(上) (PDF). : 405 [2024-06-19]. ISBN 9787560324418. 

外部連結

• gogeometry.com