數學中,凸共軛(英語:convex conjugate)是勒讓德變換的一種推廣;凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換(Legendre–Fenchel transformation)阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。

定義

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函數 擴展的實數軸上取值。

它的凸共軛定義為: 

這裡, 表示實賦範向量空間 表示 對偶空間

映射 表示一個二次型,滿足:對於  )中任意非零元素 ,總能在 (對應地, )中找到一個元素 使得 

例子

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  • 仿射變換 ;它的凸共軛是:

 

  • 冪函數 ;它的凸共軛是:

  這裡  

  • 絕對值變換 ;它的凸共軛是:

 

 ;它的凸共軛是:  

性質

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逆序性

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如果 ,那麼就有 。這裡的 指,對定義域中所有元素 ,都有 成立。

半連續性與兩次凸共軛

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函數 的凸共軛總具有半連續性,因此函數 的兩次共軛 也具有半連續性。同時, 還是是閉凸包,也即最大的凸的半連續函數,滿足 

由Fenchel-Moreau定理可以知道,對於合適的函數   若且唯若 是半連續的凸函數。

Fenchel不等式

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  , 這裡   的凸共軛。

凸性

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凸共軛算子自身是凸的,即:

取函數  間任意實數 ,有:  成立。

最小值卷積

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對於兩個函數fg,它們的最小值卷積被定義為

 

如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半連續的函數。那麼它們的最小值卷積是凸且半連續的(但不一定proper),並且滿足關係

 

兩個函數的最小值卷積具有幾何意義。兩個函數的最小值卷積的超圖是這兩個函數的超圖閔可夫斯基和