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勒壤得轉換

(重定向自勒让德变换
xy-圖展示出函數 的勒壤得轉換。函數用紅色表示,在切點 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 ;這裏, 是勒壤得轉換 的值, 。特別注意,穿過在紅線上任何其它點,而擁有同樣斜率 的直線,其與 y-軸相交點必定比點 高,證明 確實是極大值。

勒壤得轉換英语:Legendre transformation)是一個在數學和物理中常見的技巧,得名於阿德里安-馬裡·勒壤得(Arien-Marie Legendre)。该操作是一个实变量的实值凸函数对合变换。 它经常用于经典力学中,从拉格朗日形式导出哈密顿形式;以及在热力学中,推导出热力学势,并求解多个变量的微分方程。

目录

概述编辑

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構,表述此系統的函數關係   改用一個新函數   來表示,其變數   導數  。而   的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距

換句話說,從  x 值到 y 值的函數,轉換成  f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的,因此稱為勒壤得轉換。稱函數    的勒壤得轉換;

用方程式表示

 

此式子表示   中的 u 對   而言是個參數,且參數 u 會滿足   。即求算表達式關於變數  極值


為方便討論,把討論限定在  為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在   也就是斜率不變的狀況下,對每個 而言,所有與曲線 相交且斜率為 的直線族為  。若令 ,該直線即是  的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知,在 的情況下, 值是最小的,也就是說直線方程式中 這部分是最大的,而正好  ,正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係duality)的一個應用。函數   設定的函數關係可以用   點集合來表示;也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下,切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化,則會變為勒壤得-芬伽轉換Legendre-Fenchel transformation)。勒壤得轉換時常用於熱力學哈密頓力學

定義编辑

最大值式定義编辑

更詳細地定義勒壤得轉換,為了求得   關於   的最大值,設定   關於   的偏導數為零:

 

 (1)

這表達式必為最大值。因為,凸函數   的二阶导数是負數:

 

用方程式 (1) 來計算函數   的反函數   。代入   方程式,即可以得到想要的形式:

 

計算   的勒壤得轉換,所需的步驟為:

  1. 找出导函數  
  2. 計算导函數   的反函數  
  3. 代入   方程式來求得新函數  

這定義切確地闡明:勒壤得轉換製造出一個新函數   ;其新自變數為  

反函數式定義编辑

另外一種勒壤得轉換的定義是:假若兩個函數    的一階導數是互相的反函數;

 

或者,

 

   互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義,

 
 

思考下述運算:

 

所以,

 

這裏, 

這答案是標準答案;但並不是唯一的答案。設定

 

也可以滿足定義的要求。在某些情況下(例如:熱力勢thermodynamic potential),會採用非標準的答案。除非另外註明,此頁面一律採用標準答案。

數學性質编辑

以下討論,函數   的勒壤得轉換皆標記為  

標度性質编辑

勒壤得轉換有以下這些標度性質:

 
 

由此可知,一個  齊次函數的勒壤得轉換是一個   次齊次函數;這裏,

 

平移性質编辑

 
 

反演性質编辑

 

線形變換性質编辑

  成為一個從    的線形變換。對於任何定義域為   的凸函數   ,必有

 

這裏,  伴隨算子定義為

 

應用编辑

熱力學编辑

熱力學裏,使用勒壤得轉換主要的目的是,將一個函數與所含有的一個自變數,轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數,(此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數);將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積,得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢thermodynamic potential)之間作轉換。例如,內能  外延量extensive  體積   ,與化學成份chemical composition  的顯函數

 

對於   ,函數   (非標準的)勒壤得轉換為函數  

 
 

一個熵與內含量intensive壓力的函數。當壓力是常數時,這函數很有用。

對於   ,函數   勒壤得轉換為吉布斯能函數   :

 
 

對於   ,函數   勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數   :

 
 

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

古典力學(哈密頓力學)编辑

經典力學裏,勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述,或反導之。拉格朗日量  廣義坐標  廣義速度   的函數;而哈密頓量   將函數的自變量轉換為廣義坐標  廣義動量  

 
 

正則變換编辑

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變,  ,而同時維持哈密頓方程式的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

 
 
 

這裏,  是舊正則坐標,  是新正則坐標,  是舊哈密頓量,  是新哈密頓量, 生成函數

參閱编辑

參考文獻编辑

  • Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
  • Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.