巴特沃斯濾波器的特性
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一階巴特沃斯低通濾波器的鮑圖 巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶 頻率響應 曲線最大限度平坦，沒有漣波 ，而在阻頻帶則逐漸下降為零。[2] 鮑圖 上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而線性減少至負無窮。
一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻 6 dB，每十倍頻20 dB（所有一階低通濾波器具有相同的歸一化頻率響應）。 [來源請求]
傳遞函數
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一階至五階巴特沃斯低通濾波器增益圖，截止頻率
ω
0
=
1
{\displaystyle \omega _{0}=1}
n dB/decade，其中 n 為濾波器階數。 n 階巴特沃斯低通濾波器的增益
G
(
ω
)
{\displaystyle G(\omega )}
G
2
(
ω
)
=
|
H
(
j
ω
)
|
2
=
G
0
2
1
+
(
ω
ω
c
)
2
n
{\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}
其中,
n = 濾波器的階數
ωc =截止頻率 =功率下降為 -3分貝時的 頻率
G
0
{\displaystyle G_{0}}
可以看出隨著 n 趨近於無窮，增益變為一個矩形函數，頻率低於 ωc 的會以
G
0
{\displaystyle G_{0}}
c 的就會被抑制。對於較小的 n 值，截止就會變得不十分尖銳。
我們希望能夠（通過拉普拉斯變換 ）確定傳遞函數 H(s) ，其中
s
=
σ
+
j
ω
{\displaystyle s=\sigma +j\omega }
|
H
(
s
)
|
2
=
H
(
s
)
H
(
s
)
¯
{\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}
s
=
j
ω
{\displaystyle s=j\omega }
H
(
−
j
ω
)
=
H
(
j
ω
)
¯
{\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}
H
(
s
)
H
(
−
s
)
=
G
0
2
1
+
(
−
s
2
ω
c
2
)
n
,
{\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}
則對於虛數輸入
s
=
j
ω
{\displaystyle s=j\omega }
上述表達式的 n 個極點 等距離地分布在半徑 為 ωc 的圓 上，並關於虛軸對稱。為了具有穩定性，傳遞函數 H(s) 要選擇只包含 s 負實半平面的極點。第 k 個極點為
−
s
k
2
ω
c
2
=
(
−
1
)
1
n
=
e
j
(
2
k
−
1
)
π
n
k
=
1
,
2
,
3
,
…
,
n
{\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}
因此，
s
k
=
ω
c
e
j
(
2
k
+
n
−
1
)
π
2
n
k
=
1
,
2
,
3
,
…
,
n
.
{\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}
n 階巴特沃斯低通濾波器的振幅和頻率關係可用如下的公式表示：
G
n
(
ω
)
=
|
H
n
(
j
ω
)
|
=
1
1
+
(
ω
/
ω
c
)
2
n
{\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={1 \over {\sqrt {1+(\omega /\omega _{\mathrm {c} })^{2n}}}}}
其中：
G 表示濾波器的放大率，H 表示 傳遞函數 ，j 是 虛數單位 ，n 表示濾波器的級數，ω 是訊號的 角頻率 ，以弧度/秒 為單位，
ω
c
{\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}
令截止頻率
ω
c
=
1
{\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }=1}
G
n
(
ω
)
=
|
H
n
(
j
ω
)
|
=
1
1
+
ω
2
n
{\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={1 \over {\sqrt {1+\omega ^{2n}}}}}
根據衰減度求濾波器的階數
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令 1/A=
G
n
(
ω
)
{\displaystyle G_{n}(\omega )}
n
=
l
o
g
10
(
A
2
−
1
)
2
l
o
g
10
(
ω
)
{\displaystyle n={\frac {log_{10}(A^{2}-1)}{2log_{10}(\omega )}}}
例：在
(
ω
)
=
2
{\displaystyle (\omega )=2}
G
n
(
ω
)
{\displaystyle G_{n}(\omega )}
A= 200, n=7.6, 取大一號整數，即需要 8 階巴特沃斯濾波器。
二階巴特沃斯低通濾波器的鮑圖
振幅最平坦的濾波器
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g (2n-1) 次導數在ω = 0 時為零，說明放大率對 ω 是常數。
因此巴特沃斯濾波器又被稱為最平坦的濾波器。
高頻衰減
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|
H
(
j
ω
)
|
2
d
B
=
40
n
l
o
g
10
ω
{\displaystyle {{\left|H(j\omega )\right|^{2}}_{dB}}={40n}{log_{10}{\omega }}}
因此，n 階巴特沃斯低通濾波器的高頻衰減為每十倍頻20n 分貝。
歸一化的巴特沃斯多項式
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n
多項式因子
B
n
(
s
)
{\displaystyle B_{n}(s)}
1
(
s
+
1
)
{\displaystyle (s+1)}
2
s
2
+
1.414
s
+
1
{\displaystyle s^{2}+1.414s+1}
3
(
s
+
1
)
(
s
2
+
s
+
1
)
{\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}
4
(
s
2
+
0.7654
s
+
1
)
(
s
2
+
1.8478
s
+
1
)
{\displaystyle (s^{2}+0.7654s+1)(s^{2}+1.8478s+1)}
5
(
s
+
1
)
(
s
2
+
0.6180
s
+
1
)
(
s
2
+
1.6180
s
+
1
)
{\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.6180s+1)(s^{2}+1.6180s+1)}
6
(
s
2
+
0.5176
s
+
1
)
(
s
2
+
1.414
s
+
1
)
(
s
2
+
1.9318
s
+
1
)
{\displaystyle (s^{2}+0.5176s+1)(s^{2}+1.414s+1)(s^{2}+1.9318s+1)}
7
(
s
+
1
)
(
s
2
+
0.4450
s
+
1
)
(
s
2
+
1.247
s
+
1
)
(
s
2
+
1.8022
s
+
1
)
{\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.4450s+1)(s^{2}+1.247s+1)(s^{2}+1.8022s+1)}
8
(
s
2
+
0.3986
s
+
1
)
(
s
2
+
1.111
s
+
1
)
(
s
2
+
1.6630
s
+
1
)
(
s
2
+
1.9622
s
+
1
)
{\displaystyle (s^{2}+0.3986s+1)(s^{2}+1.111s+1)(s^{2}+1.6630s+1)(s^{2}+1.9622s+1)}
與其他類型濾波器的比較
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下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階I型切比雪夫濾波器（右上）、II型切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數濾波器（右下）的頻率響應圖。
由圖可見，巴特沃斯濾波器的衰減速度比其他類型濾波器緩慢，但十分平坦，沒有振幅變化。
參考文獻
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^ In Wireless Engineer (also called Experimental Wireless and the Wireless Engineer ), vol. 7, 1930, pp. 536–541 - "On the Theory of Filter Amplifiers"-S. Butterworth （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
^
Giovanni Bianchi and Roberto Sorrentino. Electronic filter simulation & design . McGraw-Hill Professional. 2007: 17–20. ISBN 978-0-07-149467-0
Matthaei, George L.; Young, Leo and Jones, E. M. T., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures , McGraw-Hill, 1964 LCCN 64-7937 . 
![{\displaystyle C_{k}=2sin\left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d89f2453b8a712f3162f798c07856760f0730d)
![{\displaystyle L_{k}=2sin\left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffa00d054b88288f1eb485483ac4dc8867dde0a)
