反曲點

提示：此條目頁的主題不是駐點、滯點或臨界點。

反曲點（英語：Inflection point）或稱拐點，是一條連續曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。

y=x³的函數圖形，原點是其反曲點

反正切函數的反曲點

決定曲線的反曲點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義

若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為反曲點。直觀地說，反曲點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某點的二階導數為零或不存在，且二階導數在該點兩側符號相反，該點即為函數的反曲點。這是尋找反曲點時最實用的方法之一。

反曲點的必要條件

反曲點的必要條件：設$f(x)$在$(a,b)$內二階可導，$x_{0}\in (a,b)$，若$(x_{0},f(x_{0}))$是曲線$y=f(x)$的一個反曲點，則$f''(x_{0})=0$。 比如，$f(x)=x^{4}$，有$f''(0)=0$，但是0兩側全是凸，所以0不是函數$f(x)=x^{4}$的反曲點。

反曲點的充分條件：設$f(x)$在$(a,b)$內二階可導，$f''(x_{0})=0$，若在$x_{0}$兩側附近$f''(x)$異號，則點$(x_{0},f(x_{0}))$為曲線的反曲點。否則（即$f''(x_{0})$保持同號），$(x_{0},f(x_{0}))$不是反曲點。

分類

反曲點可以根據$f'(x)$為零或不為零，進行分類：

• 如果$f'(x)$為零，此點為反曲點的駐點，簡稱為鞍點。
• 如果$f'(x)$不為零，此點為反曲點的非駐點。

例如：$y=x^{3}$的點$(0,0)$是一個鞍點，切線為$x$軸，切線正好將圖像分為兩半。

參數曲線的反曲點

平面參數曲線的反曲點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與反曲點

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性獨立的點。在雙正則點上，曲線既無反曲點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的反曲點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為反曲點。

註：某些作者偏好將反曲點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的反曲點

設$C$為域$F$上的平面代數曲線，其反曲點定義為一平滑點$P\in C(F)$，使得該點切線$L_{P}$與$C$在$P$點的相交重數$\geq 3$。

注意到一條曲線與$C$在$P$點相切的充要條件是相交重數$\geq 2$。當$F=\mathbb {R}$時，代數曲線的反曲點定義等價於上節註記中的廣義定義。

參見

• 駐點
• 鞍點
• 極值

文獻

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.