李雅普諾夫穩定性
在數學和自動控制領域中,李雅普諾夫穩定性(英語:Lyapunov stability,或李亞普諾夫穩定性)可用來描述一個動力系統的穩定性。如果此動力系統任何初始條件在 附近的軌跡均能維持在 附近,那麼該系統可以稱為在處李雅普諾夫穩定。
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若任何初始條件在 附近的軌跡最後都趨近,那麼該系統可以稱為在處漸近穩定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率,也可以估計軌跡收斂的快慢。 [1]
李雅普諾夫穩定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得,因此李雅普諾夫穩定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普諾夫穩定性的概念可以延伸到無限維的流形,即為結構穩定性,是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性(ISS)則是將李雅普諾夫穩定性應用在有輸入的系統。
歷史
編輯這一穩定性以俄國數學家亞歷山大·李亞普諾夫命名,他在1892年發表了他的博士論文《運動穩定性的一般問題》,文中給出了穩定性的科學概念、研究方法和相關理論。李雅普諾夫考慮到針對非線性系統修改穩定理論,修正為以一個穩定點線性化的系統為基礎的線性穩定理論。他的作品最初以俄文發行,後翻譯為法文,但多年來默默無聞。人們對它的興趣突然在冷戰初期(1953至1962年)開始,因當所謂的「李雅普諾夫第二方法」被認為適用於航空航天制導系統的穩定性,而這系統通常包含很強的非線性,其他方法並不適用。大量的相關出版物自那時起開始出現,並進入控制系統文獻中。最近[來源請求]李雅普諾夫指數的概念(與李雅普諾夫穩定性第一種方法)引起了廣泛興趣,並與混沌理論結合了起來。
連續時間系統下的定義
編輯給定一個完備的賦范向量空間E(例如 ),設U是E的開子集。考慮一個自治的非線性動力系統:
- ,
假設函數f有一個零點:f(a) = 0,則常數函數:x = a是動力系統的駐定解(或稱平衡解)。稱a是動力系統的平衡點。
- 稱點a李雅普諾夫穩定(簡稱穩定),如果對每個 ,均存在 ,使得對所有滿足 的 ,只要 ,就有 。
- 稱點a漸近穩定,如果點a李雅普諾夫穩定,且存在 ,使得對所有滿足 的 , 。
- 稱點a指數穩定,如果點a漸近穩定,且存在 使得對所有滿足 的 ,只要 ,就有 。
它們的直觀幾何意義是:
- 平衡點為李雅普諾夫穩定的,表示若動力系統狀態函數(微分方程的解函數)的初值「足夠接近」平衡點,則它會永遠維持在平衡點附近任意小的範圍里(距平衡點的距離不超過任意選擇的正實數 )。
- 漸近穩定的意思是,初值足夠接近平衡點的狀態函數,不但維持在平衡點附近,而且最後會收斂到平衡點。
- 指數穩定的意思是,狀態函數不但最後會收斂到平衡點,且收斂速度不慢於某種指數遞減的速度。
設有狀態函數x,其初始取值為 。稱 為x的軌跡。如果對所有初始值與x足夠接近的狀態函數y,兩者的軌跡會趨於相同:
則稱x的軌跡有(局部)吸引性(attractive)。若上述條件對所有y均成立,則稱x有全局吸引性(globally attractive)。
如果x的軌跡有吸引性,並且穩定,則x漸近穩定。不過,x有吸引性不表示它的軌跡漸近穩定。
迭代系統下的定義
編輯離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義,不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。
給定度量空間 。設 為一連續函數。稱點 為李雅普諾夫穩定,如果對任意 ,都存在 ,使得只要 滿足 ,就有
稱點a漸近穩定,如果a是李雅普諾夫穩定的點,而且在穩定點集合的內部,即存在 ,使得只要 滿足 ,就有
李雅普諾夫穩定性理論
編輯對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普諾夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。
李雅普諾夫穩定性第二定理
編輯考慮一個函數 V(x) : Rn → R 使得
- 只有在 處等號成立(正定函數)
- (負定)
則V(x)稱為李雅普諾夫候選函數(Lyapunov function candidate),且系統(依李雅普諾夫的觀點)為漸近穩定。
上式中 是必要的條件。否則, 可以用來「證明」 有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性(radial unboundedness)的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。
此種分析方式可類比為考慮一物理系統(如彈簧及質量的系統)及其中的能量。若系統能量隨時間遞減,且減少的能量不會恢復,而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統,找到表達其精確能量的函數不一定容易,而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統,上述能量的概念又不一定適用。
利用李雅普諾夫的分析方式,可在不知道系統實際能量的情形下,證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普諾夫函數。
例如考慮以下的系統
希望用李雅普諾夫函數來確認 附近的穩定性。令
本身為正定函數.而V(x)的導函數如下
為負定函數,因此上述系統在 附近為漸近穩定。
線性系統狀態空間模型的穩定性
編輯一個線性的狀態空間模型
為漸近穩定(其實是指數穩定),若
的解存在。
其中 且 (正定矩陣)。(對應的李雅普諾夫函數為 )
有輸入值系統的穩定性
編輯一個有輸入(或受控制)的系統可以下式表示
其中輸入 u(t) 可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一,也應用在控制工程中。
對於有輸入的系統,需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具,在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。
相關條目
編輯參考資料
編輯- ^ Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall. 1991. ISBN 978-0-13-040890-7.
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外部連結
編輯- Lyapunov A.M. Stability of motion, Academic Press, New-York and London,1966
- Zakhama, R.; Hadj Brahim, A.B.B.; Braiek, N.B. Generalization of a stability domain estimation method for nonlinear discrete systems. Computational and Applied Mathematics. October 2016, 37: 1130–1141. doi:10.1007/s40314-016-0388-7.
- https://web.archive.org/web/20090703102428/http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab