正常橢球外部的重力場分布,紅色表示橢球表面,藍色表示等位面,而綠色則表示正常橢球的鉛垂線。可見短軸附近的等位面比長軸附近的等位面更為密集,表面前者梯度更大,正常重力值也越大。
正常重力值在兩極最大,在赤道處最小,隨緯度降低呈遞減趨勢,相對於赤道面對稱而與經度無關。橢球面上幾個特殊的重力值分別為:
符號
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數值
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含義
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參考文獻
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橢球赤道處的正常重力值
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[6]:117
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橢球極點處的正常重力值
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[6]:117
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橢球45°緯線處的正常重力值
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[7]
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整個橢球面上的平均正常重力值
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[7]
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由正常重力的數學表達式可以得出,正常重力的值可以根據正常重力位 的偏導數,以及正常橢球體本身的幾何性質得到。而正常橢球體的確定只需要四個基本參數:橢球的半長軸 、幾何扁率 、赤道上的正常重力值 ,以及地球自轉的角速度 ,其他的幾何參數可以由上述基本參數確定:[8]:79
- 橢球的半短軸
- 橢球的第一偏心率
- 橢球的第二偏心率
亦有一些坐標系統會選擇其他的基本參數,例如GRS80橢球選用的是地心引力常數 、地球動力學形狀因子 、地球自轉角速度 和橢球的半長軸 [7],但其他的橢球參數仍能由這些基本參數計算而得。
法國數學家克萊羅在其發表於1743年的著作中給出了地球的幾何扁率 與重力扁率 之間的對應關係,即克萊羅定理。[9]在顧及至扁率的平方項的情況下,該定理可表述為:
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重力扁率 的定義與幾何扁率類似,其由橢球赤道處的重力 和橢球極點處的重力 決定 :[8]:76
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其中 [8]:69,且有 [8]:76。
克萊羅定理給出了橢球赤道處的正常重力值和極點處的正常重力值,而橢球面上其他緯度的正常重力則可由正常重力公式計算得到,這一公式由索米里安在1929年給出:[2][8]:70
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其中 是橢球面上某點的歸化緯度,顧及到大地緯度 與歸化緯度 存在如下轉換關係:
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則正常重力公式也可以表達成大地緯度 的函數:
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正常重力公式也可以展開為幾何扁率 的級數,其截斷形式為:[8]:77
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其中的係數為:
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這一公式也可寫為:
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其中的 為上述提到的重力扁率。
正常重力公式還可以閉合形式表達:[10]:4-1
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其中的係數 為:
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採用不同的橢球參數和不同的表達形式,正常重力公式可以有不同的數值計算形式,常用的幾條公式包括:
說明
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時間
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公式
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精度
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參考文獻
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由國際大地測量協會推薦使用
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1930年
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[11]:78
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由國際大地測量與地球物理聯合會推薦使用
使用於GRS80坐標系
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1979年
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[7]
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使用於WGS84坐標系
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1984年
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[10]:4-1
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在橢球面外部不遠處,其正常重力 可以在其沿法線到橢球面上投影處展開為正常高 的級數:[8]:78
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由廣義布隆斯方程,橢球面的外部空間的重力梯度與橢球面(水準面)的平均曲率半徑 的關係為:[8]:78
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又二次導數 是微小量,可以將其近似近似於在球面外部微分(即以半長軸 代替 ),得到:[8]:78
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得到正常重力的向上延拓公式為:[8]:79
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上式的數值形式近似為:[5]:27
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