狄拉克符號

狄拉克符號或狄拉克標記（英語：Dirac notation）是量子力學中廣泛應用於描述量子態的一套標準符號系統。在這套系統中，每一個量子態都被描述為希爾伯特空間中的態向量，定義為括量（ket）：$|\psi \rangle$；每一個括量的共軛轉置定義為其包量（bra）；換一種說法，括量的厄米共軛（即取轉置運算加上共軛複數運算），就可以得到包量。

此標記法為狄拉克於1939年將「bracket」（括號）這個詞拆開後所造的。在中國方面，一些舊有的教科書和文獻中也將其譯為「刁矢」和「刃矢」、或「彳矢」和「亍矢」，現已棄用。

矩陣表示

括量與包量可分別用N×1階和1×N階矩陣表示為：

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix}}$

$\langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}$

不同的兩個態矢量的內積則由一個括號來表示：$\langle \phi |\psi \rangle$，當狄拉克符號作用於兩個基矢時，所得值為：$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$ （$\delta _{ij}$為克羅內克函數）

相同的態矢量內積為：$\langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}$。

性質

因為每個括量是複希爾伯特空間中的一個向量，而每個括量-包量關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 給定任何包量$\langle \phi |$、括量$|\psi _{1}\rangle$以及$|\psi _{2}\rangle$，還有複數c₁及c₂，則既然包量是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，

$\langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle$。

• 給定任何括量$|\psi \rangle$、包量$\langle \phi _{1}|$以及$\langle \phi _{2}|$，還有複數c₁及c₂，則既然括量是線性泛函，

${\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle$。

• 給定任何括量$|\psi _{1}\rangle$及$|\psi _{2}\rangle$，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），

$c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$與$c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|$對偶。

• 給定任何包量$\langle \phi |$及括量$|\psi \rangle$，內積的一個公理性質指出

$\langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}$。

• 給定任何算符$X$、包量$\langle \phi |$及括量$|\psi \rangle$，它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理，例如，

$(|\omega \rangle \langle \phi |)\ |\psi \rangle =|\omega \rangle \ (\langle \phi |\psi \rangle )$、

$\langle \phi |\ (X|\psi \rangle )=(\langle \phi |X)\ |\psi \rangle$。

相關條目

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