逆威沙特分佈

逆威沙特分布,也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数,定义在实值正定矩阵上。在贝叶斯统计中,逆威沙特分布會用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。 如果一个正定矩阵 逆矩阵 遵从威沙特分布 的话,那么就说矩阵 遵从逆威沙特分布:

逆威沙特分布
参数 自由度 (實數)
尺度矩陣 (正定)
值域 是正定的
概率密度函数
期望值
眾數 [1]:406

概率密度函数

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逆威沙特分布的概率密度函数是:

 

其中    都是  正定矩阵,而Γp(·) 则是多变量伽马分布英语Multivariate gamma function。函数

 

指的是函数。

相关定理

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威沙特分布矩阵之逆的概率分布

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设矩阵  并且    的矩阵,那么   遵从逆威沙特分布: 。它的概率密度函数是:

 

其中  ,而   是多变量伽马分布[2]

威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布

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设矩阵   遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵    都有相适合的分块矩阵表示方式:

 

其中子矩阵     的矩阵,那么会有:

甲)    相互独立,其中   是子矩阵    中的舒尔补

乙)  ;

丙)  ,其中  矩阵正态分布

丁) 

共轭分布

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假设要求先验分布   为逆威沙特分布   的协方差矩阵 。如果观测值   是从互相独立的 p-变量正态分布   的随机变量得到的,那么条件分布   遵从的是逆威沙特分布: 。其中   是样本协方差矩阵的 倍。

因此,逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。

矩相关特性

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期望值:[2]:85

 

矩阵   的每一个系数的方差:

 

对角系数的方差是在上式中令   得到,化简后变成:

 

相关分布

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当变量数目减到一个的时候,逆威沙特分布会变成特例:逆伽马分布英语Inverse-gamma distribution。也就是说,当     以及   的时候,逆威沙特分布的概率密度函数是:

 


这正是逆伽马分布。其中   是通常的伽马函数


而逆威沙特分布也有推广,其中一个是正态逆威沙特分布英语Normal-inverse-Wishart distribution

参见

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参考来源

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  1. ^ A. O'Hagan, and J. J. Forster. Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference 2B 2. Arnold. 2004. ISBN 0-340-80752-0. 
  2. ^ 2.0 2.1 Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby. Multivariate Analysis. Academic Press. 1979. ISBN 0-12-471250-9.