上昇時間

在電子學中,若要描述一電路在電壓(或电流阶跃函数下的反應,可用上昇時間(rise time)表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間[1],值可以用相對參考輸入的比率[2]或是百分比[3]來表示。在模拟电路中,其較低百分比及較高百分比多半會是輸出阶跃高度的10%及90%(或0.10.9[4]。不過,也常會使用其他的值[5]若是在控制理論中,依照Levine (1996, p. 158),上昇時間定義為「響應從終值的x%上昇到y%所需要的時間」,若是欠阻尼的二階系統,常會以0%至100%的上昇時間為準,若是臨界阻尼系統,則會是5%至95%的,過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間[6]。依照Orwiler (1969, p. 22),上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應,不過階躍下降的場合,有時也會稱是下降時間[7]

簡介编辑

上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數,可以量測在高速輸入信號時,系統響應的能力[8]。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間,已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究,以及研究如何減少電路中的雜散元件(多半是電感及電容)。不過在高速電子學的領域之外,有些應用會希望有較長的上昇時間,例如燈光的調光器英语dimming,其上昇時間較長會延長燈泡的壽命,或是用數位信號控制類比開關英语analog switch,較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少,因此耦合產生的噪音也會比較少。。

影響上昇時間的因素编辑

針對給定系統的輸出,其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關,也和系統特特性有關[9]

例如,電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有电路性的元件,也會有電容性或電感性的元件,在負載到達穩態之前,會有電壓及(或)電流的延遲。若是純RC電路,輸出的上昇時間(10%至90%)約是電阻值(單位為歐姆)和電容值(單位為法拉)乘積的2.2倍,2.2 RC[10]

其他定義编辑

有關上昇時間,也有其他和Levine (1996, p. 158)不同的定義,偶爾會出現:[11]。這些定義的差異不只是參考準位的不同,也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線,再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間,偶爾會用到這種定義[12]。另一種定義是由Elmore (1948, p. 57)引入[13],用到概率论统计学的概念。考慮階躍響應 V(t),重新定義傳播延遲 tD為一次导数V′(t),也就是

 

最後,用以下的二次矩來定義上昇時間tr

 

典型系統的上昇時間编辑

符號及標示编辑

所有分析用到的符號及假設條列如下:

  • 根據Levine (1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)),定義x%為低準位的百分比,y%為高準位的百分比,參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
  • t1是待分析系統的輸出到達穩態值x%的時間,而t2是輸出到達穩態值y%的時間,兩者單位都是
  • tr是待分析系統的上昇時間,單位也是秒。依照定義
 
  • fL為待分析系統較低截止頻率(-3 dB點)的值,單位為赫兹
  • fH為待分析系統較高截止頻率的值,單位也是赫兹。
  • h(t)是待分析系統在時域下的冲激响应
  • H(ω)是待分析系統在頻域下的频率响应
  • 带宽定義為
 
因為較低的截止頻率fL往往遠小於較高截止頻率fH,因此
 
  • 所有分析的系統,其頻率響應都延伸到0(低通系統),因此
 
 

計算上昇時間的簡單範例编辑

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

高斯響應系統编辑

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

 

其中σ > 0為常數[14],和高截止頻率有以下的關係:

 

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器英语causal filter實現[15]。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通滤波器級聯連結而得,其精度會隨著個數增加而變好[16]。對應的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换計算而得。

 

直接代入階躍響應的定義

 

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間,需要求解以下方程:

 

利用误差函数的定義,可以找到t =  - t1 = t2的數值,因為tr = t2 - t1 = 2t,

 

因此

 [17]

一階低通RC電路编辑

針對一階低通RC電路[18],10%至90%的上昇時間和網路時間常數τ = RC成正比:

 

比例常數可以用輸入信號為V0的阶跃函数時,系統的阶跃反應而得:

 

求解時間

 

最後可得

 

t1t2滿足以下條件

 

求解方程可得t1t2的解析式

 
 

上昇時間和時間常數成正比[19]

 

另外,根據

 

 

因為上截止頻率等於頻寬

 [17]

另外,若考慮20%至80%的上昇時間,tr會變成:

 

一階低通LR電路编辑

等於一個簡單的一階低通RL電路,其10%至90%的上昇時間和電路時間常數τ = LR成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數τ的表示方式不同。因此可得到下式

 

阻尼二階系統编辑

根據Levine (1996, p. 158),控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間[6]。二階欠阻尼系統的上昇時間如下[20]

 

沒有零點的二階系統,其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函数近似如下:

 

ζ阻尼比ω0是電路的自然頻率

級聯模組的上昇時間编辑

考慮n個非交聯的級聯模組組成的系統,每一個的上昇時間為tri, i = 1,...,n,其階躍響應沒有过冲,假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為trS.[21]。其輸出的上昇時間tr0

 

依照Valley & Wallman (1948, pp. 77–78),此結果可以用中心极限定理來說明,已由Wallman (1950)證明[22][23]。此問題的詳細分析可以參考Petitt & McWhorter (1961,§4–9, pp. 107–115),[24],他指出Elmore (1948)是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人[25]

相關條目编辑

腳註编辑

  1. ^ rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 
  2. ^ 例如(Cherry & Hooper 1968,p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965,p.44) and (Nise 2011,p.167).
  3. ^ 例如Levine (1996, p. 158), (Ogata 2010,p.170) and (Valley & Wallman 1948,p.72).
  4. ^ 例如(Cherry & Hooper 1968,p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965,p.44) and (Valley & Wallman 1948,p.72).
  5. ^ 例如 Valley & Wallman (1948,p. 72, footnote 1)有提到:「有些應用會量測5%到95%的上昇時間,或是1%到99%的上昇時間。」
  6. ^ 6.0 6.1 精確來說,Levine (1996, p. 158)有提到:「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼控制系統,多半會使用0%至100%的上昇時間,若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的,因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在(Levine 2011,p.9-3 (313))的第二版也有類似的文字。
  7. ^ 仍是依照Orwiler (1969, p. 22)的定義
  8. ^ 依照Valley & Wallman (1948, p. 72)「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣,最重要的參數就是上昇時間,一般是量測10%至90%之間的時間,另一個則是过冲。」,依照Cherry & Hooper (1969, p. 306)「放大器在方波響應下,最重要的二個參數是上昇時間以及倾斜百分比。」
  9. ^ 參考(Orwiler 1969,pp.27–29)及級聯模組的上昇時間章節
  10. ^ 參考(Valley & Wallman 1948,p.73)、(Orwiler 1969,p. 22 and p. 30)中的範例,或是一階低通RC電路章節
  11. ^ 可參考 (Valley & Wallman 1948,p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948,p.56)。
  12. ^ 參考(Valley & Wallman 1948,p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948,p. 56 and p. 57, fig. 2a).
  13. ^ 參考(Petitt & McWhorter 1961,pp.109–111)
  14. ^ 參考(Valley & Wallman 1948,p.724)及(Petitt & McWhorter 1961,p.122).
  15. ^ 根據Paley-Wiener準則英语Paley-Wiener criterion,像是(Valley & Wallman 1948,p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961, p. 122)也簡單說明此事實
  16. ^ 參考(Valley & Wallman 1948,p.724), (Petitt & McWhorter 1961,p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969,p.30).
  17. ^ 17.0 17.1 Compare with (Orwiler 1969,p.30).
  18. ^ 也稱為「單極點濾波器」,例如(Cherry & Hooper 1969,p.639)
  19. ^ 比較(Valley & Wallman 1948,p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969,p. 639, formula (13.3))或(Orwiler 1969,p. 22 and p. 30)的內容
  20. ^ See (Ogata 2010,p.171).
  21. ^ "S表示「來源」,可能是电流源电压源
  22. ^ 這份一頁的論文沒有任何計算。Henry Wallman英语Henry Wallman列出了一個他稱為詞典的表,將电子工程概率论的概念並排。關鍵是使用拉普拉斯变换。接著他提到,依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的階躍響應可以對應中心极限定理,並且提到:「這是重要的實務結果,前提是電路沒有過衝,其反應時間會隨著級聯個數而增加,約和個數的均方根成正比。」(Wallman 1950,p.91).
  23. ^ 也可以參考(Cherry & Hooper 1969,p.656)及(Orwiler 1969,pp.27–28).
  24. ^ 由(Cherry & Hooper 1969,p.656)引用
  25. ^ 參考(Petitt & McWhorter 1961,p.109).

參考資料编辑