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伯特蘭定理

約瑟·伯特蘭

經典力學裏,伯特蘭定理闡明,只有兩種位勢可以給出閉合軌道[1]

其中,是徑向座標,是正值常數。假若物體從某位置移動,經過一段路徑後,又回到原先位置,則稱此路徑為閉合軌道

1687年,物理泰斗艾薩克·牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》裏發表的萬有引力定律,解釋了為甚麼行星繞著太陽的公轉運動會遵守克卜勒定律。在這之後,許多科學家開始研究,當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候,可能會發生的狀況?其中一個問題為:軌道是否仍舊是閉合的?但是,經過多年的探討,科學家都無法給出合理的解答。一直要等到1873年,法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理,才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究,這定理非常的重要;在宇宙遙遠的那一邊,萬有引力的性質是否仍舊保持不變?伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法,來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏,理論物理學家發現,由於廣義相對論效應,重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到,水星繞著太陽公轉的橢圓軌道,其近拱點呈緩慢進動狀態。所以,當涉及廣義相對論的領域,伯特蘭定理不適用。

目录

前論编辑

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道;這圓形軌道當然是閉合軌道;其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值;後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言,非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標 ,一個移動於連心勢 的粒子,其拉格朗日量 

 

其中, 是粒子質量,  分別表示  對於時間 的導數。

這粒子的拉格朗日方程式

 
 

由於角坐標 顯性地跟拉格朗日量無關, 是個可略坐標,其共軛動量角動量 守恆, 是個常數:

 

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式,可以得到一個 的二次微分方程式

 

假設軌道是圓形軌道,方程式左手邊第一個項目是零,則如同期待的,連心力 等值於離心力 

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

 

將這公式代入,可推導出一個跟角度有關,跟時間無關的軌道方程式:

 

設定變數 ,改換方程式的變數為 ,同時將方程式兩邊乘以 ,可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式

 

導引编辑

如同前面所說,給予粒子適當的初始速度,任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是,假設給予粒子某徑向速度,則這些軌道可能不穩定(穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道),也可能不閉合。本段落會證明,穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢(一個必要條件)。下一個段落會證明,這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道(一個充分條件)。

為了簡化標記,設定

 (1)

其中, 是連心力函數。

則軌道方程式為

 

如果要得到半徑為 的圓形運動軌道,必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零,方程式變為

 

思考對於標準圓形運動軌道的變數 微擾 ,函數  泰勒級數

 

將此展開示代入軌道方程式:

 

設定常數  的解答為標準圓形運動軌道):

 (2)

取至 的1次方:

 

 必須是個非負數;否則,軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

 

其中,振幅 是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道,則 必須是有理數。繼續運算,從方程式(1),取對於 的導數:

 

這方程式對於任意 值都必須成立,因此可以將 認定為函數 的參數。用符號 來代替 

 

將方程式的變數換回為 

 

這意味著作用力必須遵守冪定律

 

代入方程式 (1) ,  的一般形式為

 (3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別(也就是說,不能忽略 函數的泰勒級數的更高次方項目),則可以用傅立葉級數來展開 

 

因為高頻率項目的係數太小,傅立葉級數只取至 項目。方程式 (2)也只取至 的三次方。注意到  的數量級為 ,超小於  的數量級為 ,超小於  。將上述傅立葉級數代入方程式 (2),匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣,可以得到一系列方程式:

 (4)
 (5)
 (6)

  對於 的微分:

 
 (7)
 (8)

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6):

 (9)
 (10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5),經過一番運算,可以得到伯特蘭定理的重要結果:

 

解答 是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 ( )與徑向諧振子勢 ( )能夠造成穩定的,閉合的,非圓形的公轉軌道。

平方反比力(克卜勒問題)编辑

平方反比連心力給出的連心勢,像重力勢或靜電勢,以方程式表示為

 

處於這種連心勢的粒子,其一般軌道方程式寫為

 

其解答為軌道函數 

 

其中, 是橢圓軌道的離心率 是相位差,是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當 時,這軌道對應於圓形軌道; 當 時,這軌道是橢圓形軌道;當 時,這軌道是拋物線軌道;當 時,這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量 的關係為

 

所以,當 時,這軌道是圓形軌道; 當 時,這軌道是橢圓形軌道;當 時,這軌道是拋物線軌道;當 時,這軌道是雙曲線軌道。

徑向諧振子编辑

為了方便解析這問題,採用直角坐標 。勢能可以寫為

 

處於徑向諧振子位勢的粒子,其拉格朗日量 

 

這粒子的拉格朗日方程式為

 
 
 

其中, 是振動頻率

常數 必須為正值;否則,粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

 
 
 

其中,   分別為x、y、z方向的振幅,   分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期 後,會重複自己,軌道解答 是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理编辑

牛頓旋轉軌道定理表明,對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子,假設再增添立方反比力於此粒子,只要因子 有理數,則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式,增添的立方反比力 

 

其中, 是粒子原本的角動量, 是粒子的質量。

所以, 

由於 是有理數, 可以寫為分數 ;其中,  都是整數。對於這案例,增添立方反比力使得粒子完成 圈公轉的時間等於原本完成 圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理,因為,增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci. 1873, 77: 849–853. 
Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 (英语). 
Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787 
Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157 
Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449