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在环中,所有可逆元素叫环的单位,所有单位对乘法可构成一个乘法,叫环的单位群。对环(域)来说,单位群所有元素,和环(域)的所有元素有多少相同,有多少不同,可由环的素理想分式理想理想类群度量

整数环Z的单位只有1,-1,单位群同构于循环群C2。模n 的剩余类环Zn单位群记为U(Zn)。仅有U(Z3),U(Z4),U(Z6),U(Z8),U(Z12),U(Z24)非单位元的阶均为2;非单位元的阶均为其他素数p(p > 2)的单位群不存在。

单位编辑

算术基本定理说明Z环的乘法结构为:每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对OK的理想的唯一分解对一部分理想正确,不能全正确是因为±1,因为整数1和-1是Z环的可逆元素(即单位,两者组成一个乘法群叫单位群,记为Z×,是个2阶循环群)。更普遍的是,在OK的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群,记为O×,群素元称为OK的单位,这个群比2阶循环群大。由狄利克雷单位定理可得:单位群是交换群。更确切的有伽罗瓦形式:

OK   Z⊕r⊕(有限循环群)。

有限循环群即为K的单位群O×。[1] OK单元群的大小,OK结构,类数公式可以求出。

例子编辑

由在线GNU项目sagemath.org可容易看出2次域单位判别式类数因子分解等各种情况。

Q7:=QuadraticField(-11);Q7;
O7:=MaximalOrder(Q7);O7;
Discriminant(Q7) ;
ClassGroup(Q7);
a:=O7!5;a;
aa:=O7!500;aa;
Factorization(a);
Factorization(aa);
Q17:=QuadraticField(17);Q17;
FundamentalUnit(Q17);
Discriminant(Q17) ;
ClassGroup(Q17);


Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field
Maximal Order of Q7
-11
Abelian Group of order 1
Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7
5
500
[ <$.2 + 1, 1>, <-$.2 + 2, 1> ]
<-1, 0>
[ <2, 2>, <$.2 + 1, 3>, <-$.2 + 2, 3> ]
<-1, 0>
Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field
-Q17.1 + 4
17
Abelian Group of order 1
Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17

参考链接编辑