理想類群是代數數論的基本對象之一,簡稱類群。它描述了一個數域的理想與元素的差異。理想類群是有限交換群,其元素個數稱作該域的類數。
設 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} 為戴德金整環。此時 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。
今將定義其上的等價關係:設 a , b {\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}} 為二非零理想,定義
理想么半群對此關係的商構成一個交換群 C l ( O ) {\displaystyle \mathrm {Cl} ({\mathcal {O}})} ,稱為 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} 的理想類群。
另一套進路是考慮 O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} 的非零分式理想構成之交換群,再考慮它對主分式理想 { ( q ) : q ∈ K × } {\displaystyle \{(q):q\in K^{\times }\}} 之商,由此得到的對象自然同構於理想類群。
考慮二次域 Q ( − 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})} 。考慮理想
易證此非主理想,因此理想類群非零。事實上,其理想類群是二階循環群。