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理想類群

(重定向自類數

理想類群代數數論的基本對象之一,簡稱類群。它描述了一個數域理想與元素的差異。理想類群是有限交換群,其元素個數稱作該域的類數

形式定義编辑

 戴德金整環。此時   中的非零理想對乘法構成一個交換么半群

今將定義其上的等價關係:設   為二非零理想,定義

 

理想么半群對此關係的商構成一個交換群  ,稱為   的理想類群。

另一套進路是考慮   的非零分式理想構成之交換群,再考慮它對主分式理想   之商,由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質编辑

  • 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環
  •   為數域,  為其中的代數整數環,因而是戴德金整環。此時可證明   是有限群。其元素個數記為  ,稱作類數。

例子编辑

考慮二次域  。考慮理想

 

易證此非主理想,因此理想類群非零。事實上,其理想類群是二階循環群