理想類群

理想類群是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。它描述了一個數域的理想與元素的差異。理想類群是有限交換群，其元素個數稱作該域的類數。

形式定義编辑

設 ${\mathcal {O}}$ 為戴德金整環。此時 ${\mathcal {O}}$ 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。

今將定義其上的等價關係：設 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ 為二非零理想，定義

{\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}\Leftrightarrow \exists s,t\in {\mathcal {O}}^{\times }\;(s){\mathfrak {a}}=(t){\mathfrak {b}}

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 $\mathrm {Cl} ({\mathcal {O}})$ ，稱為 ${\mathcal {O}}$ 的理想類群。

另一套進路是考慮 ${\mathfrak {O}}$ 的非零分式理想構成之交換群，再考慮它對主分式理想 $\{(q):q\in K^{\times }\}$ 之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
設 $K$ 為數域， ${\mathcal {O}}_{K}$ 為其中的代數整數環，因而是戴德金整環。此時可證明 ${\mathcal {O}}_{K}$ 是有限群。其元素個數記為 $h_{K}$ ，稱作類數。

考慮二次域 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})$ 。考慮理想

J=(2,1+{\sqrt {-5}})

。

易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階循環群。