实数完备性

直观上,实数完备性意味着实数轴上(以理查德·戴德金的说法)没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点,有理数在数轴上是有间隙的,即无理数。在十进制计数法下,实数的完备性等价于:实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题,完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后,其余皆为完备性公理的等价定理

等價命題编辑

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为公理。但一般而言,我们会首先承认LUB公理或最小上界定理,再由此出发证明其他等价命题。

最小上界性编辑

最小上界定理,又稱為上確界定理(LUB公理)。其内容是,如果实数非空子集上界,则它有最小上界。这个公理可以用來证明实数集完备度量空间有理数集不满足最小上界公理,因而就不是完备的。一个理想的例子是    当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界 — 对于任何上界  ,我们可以找到上界   有着  

柯西收敛准则编辑

 柯西序列。设 S 為這樣一個集合,其中每個實數只大於序列   中的有限個成員。 ,设   使得   。於是这个序列在区间   裡出現无限多次,而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着   S, 因此 S 。另外   是 S 的上界。於是通过 LUB 公理,可以设 b 是 S 的最小上界,而且   。由三角不等式,當 n>N 時成立时  。所以   并因此   是完备的。

区间套原理编辑

定理聲稱對於任一的有界閉區間套In(例如In = [an, bn]並滿足anbn),它們的交集In非空,且為閉區間 ;特別地,假若 ,則它們的交集J為一個包含且僅包含 的單點集。

单调有界定理编辑

如果ak是一个单调的实数序列(例如ak ≤ ak+1),则这个序列具有有限极限,当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。

聚点定理编辑

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理(英語:Bolzano–Weierstrass theorem)说明, 中的一個子集 序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)当且仅当 有界閉集。更一般地,這個定理對有限维向量空间 亦有效。

参考资料编辑