实数完备性

直观上，实数完备性（英語：Completeness of the real numbers）意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等價命題

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作為出發點。以下從最小上界定理出发，來证明其他等价命题。

最小上界性

又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是

定理 — 集合 $A\subset \mathbb {R}$ 且 $A\neq \varnothing$ ，若 $A$ 存在 $d\in \mathbb {R}$ ，使得：

「對所有的 $a\in A$ ， $a\leq d$ 」（稱 $d$ 為 $A\subset \mathbb {R}$ 的一個上界）

則存在 $s\in \mathbb {R}$ 使得：

「 $s$ 為 $A$ 的一個上界」且「對所有 $r\in \mathbb {R}$ ，只要 $r$ 為 $A$ 的一個上界，則 $s\leq r$ 」

也就是說，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

柯西收敛准则

设 $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 中的有限個成員。 $\forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}$ ，设 $N\in \mathbb {N} ^{+}$ 使得 $\forall n,m\geq N$ ， $|s_{n}-s_{m}|<\varepsilon$ 。於是这个序列在区间 $(s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )$ 裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着 $s_{N}-\varepsilon \in$ S，因此 S $\not =\emptyset$ 。另外 $s_{N}+\varepsilon$ 是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 $s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon$ 。由三角不等式，當 n>N 時成立时 $d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$ 。所以 $s_{n}\longrightarrow b$ 。

滿足柯西收敛准则的度量空間稱為完備空間，若取函數 $d$ 為

d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\}

可以驗證 $(\mathbb {R} ,\,d)$ 為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 $\mathbb {R}$ 有最小上界定理等價於 $(\mathbb {R} ,\,d)$ 為完備空間。」

区间套原理

定理聲稱對於任一的有界閉區間套 $I n$ （例如 $I n = [a n, b n]$ 並滿足 $a n \leq b n$ ），它們的交集 $I n$ 非空，且為閉區間 $[\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]$ ；特別地，假若 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0$ ，則它們的交集J為一個包含且僅包含 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ 的單點集。

单调有界定理

如果 $\{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ 是一个单调的实数序列（例如單調遞增： $a_{k}\leq a_{k+1}$ ），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列有界。此定理可以由LUB公理證明。

聚点定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（英語：Bolzano–Weierstrass theorem）说明， $\mathbb {R}$ 中的一個子集 $E$ 是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当 $E$ 是有界閉集。更一般地，這個定理對有限维实向量空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 亦有效。

参考资料

Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).