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數學中,格林函數點源函數影響函數)是一種用來解有初始条件邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中,格林函数常常指各种关联函数英语Correlation function (quantum field theory),有时并不符合数学上的定义。

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林(George Green),早在1830年代,他是第一個提出這個概念的人。

目录

定義以及用法编辑

给定流形 上的微分算子  ,其格林函數 ,为以下方程的解

 

其中  狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程:

 

 零空间非平凡,則格林函數不唯一。不過,實際上因著對稱性邊界條件或其他的因素,可以找到唯一的格林函數。一般來說,格林函數只是一个广义函数

格林函數在凝聚態物理學中常被使用,因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中,哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構,因此兩者對應的格林函數也相當接近。

動機编辑

若可找到線性算符   的格林函數  ,則可將 (1) 式兩側同乘 ,再對變數   積分,可得:

 

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於  ,因此:

 

由於算符   為線式,且只對變數   作用,不對被積分的變數   作用),所以可以將等號右邊的算符   移到積分符號以外,可得:

 

而以下的式子也會成立:

 

因此,若知道 (1) 式的格林函數,及 (2) 式中的 f(x),由於 L 為線性算符,可以用上述的方式得到 u(x)。換句話說, (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 G ,就可以求出 u(x)

並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 L 的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論,(3) 式的積分也很難求解,因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函數,則方程式 Lu = f 的解 u

 

可以視為 f 依狄拉克δ函數的基底展開,再將所有投影疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程英语Fredholm_integral_equation

非齊次邊界值問題的求解编辑

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中,格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子,而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的关联函数英语Correlation function (quantum field theory)

研究框架编辑

  為一個施图姆-刘维尔算子,是一個以以下形式表示的線性微分算子

 

D 是邊界條件算子

 

  為在   區間的連續函數,並假設以下問題

 

有正則特牲;即其齊次問題只存在尋常解。

定理编辑

則存在唯一解   滿足以下方程式

 

而其解的計算方式如下

 

而中   即為格林函數,有以下的特性:

  1.     連續。
  2. 對所有  ,  .
  3. 對所有  ,  .
  4. 微分跳躍: .
  5. 對稱: .

尋找格林函數编辑

特徵向量展開编辑

若一微分算子 L 有一組完备的特徵向量  (也就是一組函數   及純量   使得   成立)則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數   滿足以下的完備性:

 

經由證明可得下式:

 

若在等號兩側加上微分算子 L,則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究,及格林函數和特徵向量所組成空間的關係,則為弗雷德霍姆理論英语Fredholm theory所要探討的內容。

拉普拉斯算子的格林函數编辑

先由格林定理開始:

 

假設線性算符 L拉普拉斯算子  ,而 G 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義,可得下式:

 

令格林定理中的  ,可得:

 

根據上式,可以解拉普拉斯方程  泊松方程  ,其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說,在以下任一個條件成立時,可以解一空間內任一位置的  

  1. 已知   在邊界上的值(狄利克雷邊界條件)。
  2. 已知   在邊界上的法向導數(諾伊曼邊界條件)。

若想解在區域內的  ,由於狄拉克δ函數的特性,(4) 式等號左邊的第一項

 

可化簡為   ,再將 (4) 式等號左邊第二項    表示,(若為泊松方程, ,若為拉普拉斯方程, ),可得:

 

上式即為調和函數(harmonic function)的特性之一:若邊界上的值或法向導數已知,則可以求出區域內每個位置的數值。

靜電學中, 電位 電荷密度,而法向導數   則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件,可以選擇在 x 或 x' 在邊界時,其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件,可以選擇在 x 或 x' 在邊界時,其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ,只剩下一項需計算。

自由空間的情形下(此時可將邊界條件視為: ),拉普拉斯算子的格林函數為:

 

 電荷密度,則可得到電荷密度和電位   的公式:

 

範例编辑

針對以下微分方程

 
 

找出格林函數。

第 1 步

根據定理中,格林函數的特性 2,可得

 

x < s 時因特性 3 可知

 

(此時不需考慮   的式子,因  )在 x > s 時因特性 3 可知

 

(此時不需考慮   的式子,因  )整理上述的結果,可得以下的式子。

 

第 2 步

依格林函數的特性,找出 a(s)和b(s).

根據特性 1,可得

 .

根據特性 4,可得

 

解上述二式,可以求出 a(s)和b(s)

 .

因此格林函數為

 

對照此解和格林函數的特性 5,可知此解也滿足特性 5 的要求。

其他舉例编辑

  • 若流形為 R,而線性算符 L 為 d/dx,則单位阶跃函数 H(xx0) 為 L 在 x0 處的格林函數。
  • 若流形為第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子,並假設在x = 0 處有狄利克雷邊界條件,而在y = 0 處有諾依曼邊界條件,則其格林函數為
 
 

參見编辑

參考编辑

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.(其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部連結编辑