極限比較審斂法

(重定向自極限比較檢驗法

極限比較審斂法是判別级数斂散性的一種方法。

无穷级数
无穷级数

描述编辑

假设存在两个级数  ,且对于任意 都有 

如果  ),那么两级数同时收敛或发散。

证明编辑

 ,我们知道对于任意 都存在一正整数 使得当  时有 ,等价于

 
 
 

由于 ,我们可以让 足够小使得 为正。 因此 ,根据比较审敛法,如果 收敛,则 同样收敛。

类似地, ,如果 收敛,根据比较审敛法, 亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。

例子编辑

判断 是否收敛。我们将其与收敛级数 进行比较。

由于 ,我们可以得出原级数收敛。

参见编辑

参考来源编辑

  • Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50
  • Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR)
  • J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR)

外部链接编辑