单参数酉群的斯通定理

在数学中，单参数酉群的斯通定理是泛函分析的一个基本定理，建立了希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ 上强连续单参数酉群与该空间上的某个自伴算子的一一对应关系。具体来说，单参数酉群是指幺正算子构成的单参数族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ ，且 $t\mapsto U_{t}$ 是一个连续群同態，所谓强连续是指

\forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ).

该定理由Marshall Stone （1930, 1932）证明，而 John von Neumann （1932）表明，至少当希尔伯特空间是可分的， $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的强连续性可以放宽为弱可测。

这是一个令人印象深刻的结果，因为它允许人们定义映射 $t\mapsto U_{t}$ 的导数，而该映射仅仅需要是连续的。它也与李群和李代数的理论有关。

正式表述

定理^[1] — 设 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是一个强连续的单参数酉群。那么存在一个唯一的（可能是无界的）自伴算子 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 满足 $\forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.$ $A$ 的定义域 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 定义为 ${\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.$

反过来，设 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 是一个 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 上的（可能无界的）自伴算子，并定义单参数的幺正算子族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 为 $\forall t\in \mathbb {R} ,\quad U_{t}:=e^{itA},$ 则其构成一个强连续的单参数群。

在定理的两个部分中，表达式 $e^{itA}$ 是通过博雷尔函数演算来定义的，它用到了无界自伴算子的谱定理。

无穷小生成元

上述定理中的算子 $A$ 被称为 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的无穷小生成元。此外， $A$ 有界当且仅当映射 $t\mapsto U_{t}$ 是范数连续的。

强连续酉群 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的无穷小生成元 $A$ 可以用下面的式子来计算：

A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},

其中， $A$ 的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量 $\psi$ 组成。也就是说， $A$ 等于 $-i$ 乘以 $U_{t}$ 关于 $t$ 在 $t=0$ 处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即 $A$ 是一个稠密定义的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的，因为 $U_{t}$ 仅被假设具有（关于时间的）连续性，而不必可微。

例子

平移算子族

\left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)

是一个由酉算子构成的单参数酉群；其无穷小生成元是一个空间上的微分算子

-i{\frac {d}{dx}}

的一个扩张（英语：Extensions of symmetric operators），该空间由 $\mathbb {R}$ 上连续可微的紧支撑复值函数构成。因此

T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.

换句话说，直线上的运动是由动量算子生成的。

应用

斯通定理在量子力学中有着广泛的应用。例如，给定一个孤立的量子力学系统，其状态的希尔伯特空间为 ${\mathcal {H}}$ ，其时间演化则是 ${\mathcal {H}}$ 上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的哈密顿算子。

基于傅里叶变换的表述

斯通定理可以用傅里叶变换的语言来重述。实轴 $\mathbb {R}$ 是一个局部紧阿贝尔群。群C*-代数（英语：Group algebra of a locally compact group） $C^{*}(\mathbb {R} )$ 的非退化*-表示与 $\mathbb {R}$ 的强连续幺正表示（即强连续的单参数酉群）一一对应。另一方面，傅里叶变换是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-同态，其中 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的C*-代数。因此，强连续单参数酉群与 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-表示之间存在一一对应关系。由于 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下：

设 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是 $\mathbb {R}$ 在希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ 上的强连续幺正表示。
积分此酉表示以产生 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化*-表示 $\rho$ 。即，先定义 $\forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)U_{t}dt,$ 再将 $\rho$ 连续扩张到整个 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 。
使用傅里叶变换获得 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化的 *-表示 $\tau$ 。
根据里斯-马尔可夫-角谷表示定理， $\tau$ 给出 $\mathbb {R}$ 上的一个投影值测度，而其是唯一的（可能无界的）自伴算子 $A$ 的单位分解。
于是， $A$ 就是 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的无穷小生成元。

$C^{*}(\mathbb {R} )$ 的精确定义如下。考虑 $\mathbb {R}$ 上的紧支撑连续复值函数，通过由卷积给出其乘法，其构成一个*-代数 $C_{c}(\mathbb {R} )$ 。这个 *-代数关于L1范数可完备化为一个巴拿赫*-代数，记作 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 。于是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 就被定义为 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 的包络 $C^{*}$ -代数，即 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 相对于最大的可能的C*-范数的完备化。一个非平凡的事实是，傅里叶变换是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 与 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 间的一个同构。这个方向的一个结果是黎曼-勒贝格引理，它指出傅里叶变换将 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 映射到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 。