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群上同調

(重定向自群同调

同調代數中,群上同調是一套研究及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲,在代數數論上也有重要應用;它是現代類域論的基本構件之一。

起源编辑

群論中的指導思想之一,是研究群   及其表示的關係。群   的表示是  -模的特例:一個  -模是一個阿貝爾群   配上    上的群作用  。等價的說法是: 群環   上的模。通常將   的作用寫成乘法  。全體  -模自然地構成一個阿貝爾範疇

對給定的  -模  ,最重要的子群之一是其  -不變子群

 

  是一個  -子模(即:是   的子群,且在   的作用下不變),則   上賦有自然的  -模結構, ,但是未必有  。第一個群上同調群   可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言,可以定義一族函子  ,其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構编辑

以下假設  有限群,全體  -模構成阿貝爾範疇,其間的態射   定義為滿足   的群同態  。由於此範疇等價於  -模範疇,故有充足的內射對象

函子   是從  -模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義   為其導函子。根據導函子的一般理論,可知:

  •  
  • 長正合序列:若   -模的短正合序列,則導出相應的長正合序列
 

在上述定義中,若固定一個域  ,並以   代替  ,得到的上同調群依然同構。

標準分解编辑

導出函子的定義來自內射分解,不便於具體計算。然而注意到  ,其中   被賦予平凡的   作用: ,故群上同調可以用Ext函子表達為

 

另一方面, -模範疇中也有充足的射影對象,若取一   的射影分解  ,則有自然的同構  。最自然的分解是標準分解

 
 
 

   給出。

定義  ,其元素為形如   的函數,並滿足  ,稱之為齊次上鏈。根據    上的作用,這種   由它在形如   的元素上的取值確定。藉此,可將上鏈複形   描述為

  •   的元素為   之函數。
  •  

其中的元素稱為非齊次上鏈

綜上所述,得到  

例子编辑

較常用的上同調是   。從標準分解可導出以下的描述:

 

準此要領,亦有

 

群同調编辑

上述理論有一對偶版本:對於任一  -模  ,定義   為形如   的元素生成之子模。考慮從  -模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

 

這是一個右正合函子,其導出函子稱為為群同調  。群同調可以藉Tor函子描述為

 

對於有限群,群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調编辑

將上述定義中的  -模   改成一般的群  (未必交換),並帶有   的作用  (稱之為  -群)。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調:

 
 

須留意   並不是群,而是帶有一個指定元素的集合(來自   的單位元素),以下所謂的正合性,都應該在此意義下理解。

  -群的短正合序列,則有長正合序列

 

 落在   的中心,此序列右端可再加一項  

性質编辑

Res 與 Cor编辑

  為群同態,則可將任一  -模透過   視為  -模,此運算導出上同調之間的映射

 

此映射與群上同調的長正合序列相容。當    的子群而   是包含映射,導出的映射稱為限制映射,記為 Res。

由於我們假設   為有限群,必有  ,此時映射

 

導出一個上限制映射  

定理.  

中心擴張编辑

  是平凡的   模(即  ),則   中的元素一一對應於   中心擴張的等價類

 

中心擴張意謂: 群擴張,而且   落在   的中心內。

具體描述方法是:任取一映射    不一定是群同態,但存在函數   使得     刻劃了   的群結構。不難驗證   滿足  ,而   的選取對應於  ,所以   僅決定於唯一的一個中心擴張。反之,任一   都來自於某個中心擴張,證畢。

譜序列编辑

  正規子群,則有下述譜序列

 

對於射影有限群,此式依然成立。

參考文獻编辑