打开主菜单

子集

集合A是集合B的子集,是指A的所有元素都是B當中的元素
(重定向自被包含於
A是B的子集

子集,為某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合

集合,且的所有元素都是的元素,则有:

  • 子集(或称包含于);
  • 父集/超集(或称包含);
  • .

所有集合都是其本身的子集。 不等于的子集称为真子集。 若的真子集,则写作。 "是……的子集"的关系称为包含

定义编辑

假设有  两个集合,如果 中的每个元素都是 的元素,则:

  •   子集,记作  
也可以说
  •   超集,记作  

如果  的子集,但 等于 (即 中至少存在一个元素不在 集合中),则:

  •   真子集,记作  
也可以说
  •   真超集,记作  

符号编辑

符号 表示任何子集关系,符号 表示真子集关系。 也是一个很常見的符号,但其含义容易混淆。

有人用  表示任何子集和超集关系,即  所分别代表的含义。[1][2][3]所以在这些作者的文章中,对于任意集合   始终成立。

也有人用  表示真子集和真超集的概念,即  所分别代表的含义。[4]:p.6这样  就类似于不等符号  的关系。例如如果  ,那么 可能等于 也可能不等于,而如果  ,那么 就一定不等于 。换用 表示真子集,如果  ,那么 可能等于 也可能不等于,而如果  ,那么 就一定不等于 

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配:使用 表示子集关系, 表示真子集关系;或者使用 表示子集关系,使用 表示真子集关系。

举例编辑

  • 集合 是集合 的真子集。
  • 自然数集合是有理数集合的真子集。
  • 集合 是大于2000的素数 是集合 是大于1000的奇数 的真子集。
  • 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
  • 空集,写作  ,是任意集合 的子集。空集总是其他集合的真子集,除了其自身。

性质编辑

命题1空集是任意集合的子集。

这个命题说明:包含是一种偏序关系

命题2:若 是集合,则:

自反性
  •  
反对称性
  •   当且仅当 
传递性
  •    

这个命题说明:对任意集合  幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数

命题3:若 是集合 的子集,则:

存在一个最小元和一个最大元
  •   由命題1給出)
存在并运算
  •  
  •    
存在交运算
  •  
  •  \  

命题4:对任意两个集合  ,下列表述等价:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

这个命题说明:表述" ",和其他使用并集交集补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻编辑

  1. ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始内容存档于2012-07-03) 
  2. ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始内容 (PDF)存档于2013-01-23) 
  3. ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14] 
  4. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157 

参见编辑

  • 冪集:某集合的全部子集组成的集合。