子集

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中一部分的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集關係上以「包含」稱呼。

A是B的子集，B是A的超集。

如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素（任意 a∈A，則 a∈B），那麼集合A稱為集合B的子集，記為 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$，讀作「集合A包含於集合B」或「集合B包含集合A」。

即：$\forall a\in A$，有 $a\in B$，則 $A\subset B$。

若$A$和$B$為集合，且 $A$ 的所有元素都是 $B$ 的元素，則可表示為：

• $A$是$B$的子集（或稱 $A$ 包含於 $B$）；$A\subseteq B$
• $B$是$A$的父集／超集（或稱 $B$ 包含 $A$）；$B\supseteq A$

任何集合$B$皆是本身的子集（$B\subseteq B$）。而$B$的子集中不等於 $B$ 的集合，稱為真子集，若 $A$ 是 $B$ 的真子集，寫作 $A\subsetneqq B$。

定義

假設有 $A$ 和 $B$ 兩個集合，如果 $A$ 中的每個元素都是$B$的元素，則：

• $A$ 是 $B$ 的子集，記作 $A\subseteq B$

也可以說

• $B$ 是 $A$ 的超集，記作 $B\supseteq A$

如果 $A$ 是 $B$ 的子集，但 $A$ 不等於 $B$（即 $B$ 中至少存在一個元素不在 $A$ 集合中），則：

• $A$ 是 $B$ 的真子集，記作 $A\subsetneqq B$

也可以說

• $B$ 是 $A$ 的真超集，記作 $B\supsetneqq A$

符號

ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配：

• $\subseteq$表示子集關係，$\subset$表示真子集關係。使用的作品如
• $\subset$表示子集關係，$\subsetneqq$表示真子集關係。使用的作品如

舉例

• 集合 $\left\{1,2\right\}$ 是集合 $\left\{1,2,3\right\}$ 的真子集。
• 自然數集合是有理數集合的真子集。
• 集合 $\{x:x$是大於2000的素數$\}$ 是集合 $\{x:x$是大於1000的奇數$\}$ 的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，寫作 $\varnothing$，是任意集合 $X$ 的子集。空集總是其他集合的真子集，除了其自身。

性質

命題1：空集是任意集合的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關係。

命題2：若 $A,B,C$ 是集合，則：

自反性：

• $A\subseteq A$

反對稱性：

• $A\subseteq B$且$B\subseteq A$當且僅當$A=B$

傳遞性：

• 若$A\subseteq B$且$B\subseteq C$則$A\subseteq C$

這個命題說明：對任意集合 $S$，$S$ 的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題3：若 $A,B,C$ 是集合 $S$ 的子集，則：

存在一個最小元和一個最大元：

• $\varnothing \subseteq A\subseteq S$（ $\varnothing \subseteq A$由命題1給出）

存在並運算：

• $A\subseteq A\cup B$
• 若$A\subseteq C$且$B\subseteq C$則$A\cup B\subseteq C$

存在交運算：

• $A\cap B\subseteq A$
• 若 $C\subseteq A$ 且 $C\subseteq B$ 則 $C\subseteq A\cap B$

命題4:對任意兩個集合 $A$ 和 $B$，下列表述等價：

• $A\subseteq B$
• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A-B=\varnothing$
• $B\subseteq A'$

這個命題說明：表述"$A\subseteq B$"，和其他使用併集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。

參見

• 冪集：某集合的全部子集組成的集合。