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数论中,裴蜀等式(英語:Bézout's identity)或貝祖定理Bézout's lemma)是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整數,关于未知数線性丟番圖方程(称为裴蜀等式):

有整数解时当且仅当最大公约数倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解都稱為裴蜀數,可用擴展歐幾里得演算法求得。

例如,12和42的最大公因數是6,则方程有解。事实上有

特别来说,方程 有整数解当且仅当整数互素

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义:其實就是最小的可以寫成形式的正整數。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

历史编辑

历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀,而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克法语Claude-Gaspard Bachet de Méziriac。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》(Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres)第二版中给出了问题的描述和证明[1]

然而,裴蜀推广了梅齐里亚克的结论,特别是探讨了多项式中的裴蜀等式,并给出了相应的定理和证明[2]

整数中的裴蜀定理编辑

对任意两个整數  ,设 是它们的最大公约数。那么关于未知数  線性丟番圖方程(称为裴蜀等式):

 

有整数解  当且仅当  的整數倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明

如果    中有一个是0,比如 ,那么它们两个的最大公约数是 。这时裴蜀等式变成 ,它有整数解 当且仅当  的倍数,而且有解时必然有无穷多个解,因为 可以是任何整数。定理成立。

以下设  都不为0。

 ,下面证明 中的最小正元素是  的最大公约数。

首先,  不是空集(至少包含  ),因此由于自然数集合是良序的, 中存在最小正元素 。考虑 中任意一个正元素  )对 带余除法:设 ,其中 为正整数, 。但是

 

因此   。也就是说, 中任意一个正元素 都是   的倍数,特别地:  。因此    公约数

另一方面,对  的任意正公约数 ,设  ,那么

 

因此 。所以   最大公约数

在方程 中,如果  ,那么方程显然有无穷多个解:

 

相反的,如果 有整数解,那么 ,于是由前可知  (即  )。

 时,方程有解当且仅当  互质。方程有解时,解的集合是

 。其中 是方程 的一个解,可由辗转相除法得到。

所有解中,恰有二解(x,y) 满足  ,等號只會在  其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

例子编辑

裴蜀方程  没有整数解,因为504和651的最大公约数是21。而方程 是有解的。为了求出通解,可以先约掉公约数21,这样得到方程:

 

通过扩展欧几里得算法可以得到一组解  

于是通解为: ,即

 

多个整数间的裴蜀定理编辑

  个整数, 是它们的最大公约数,那么存在整数  使得  。特别来说,如果 互质(不是两两互质),那么存在整数  使得  

多项式环裡的貝祖定理编辑

 时,对于多项式环 裡的多项式,裴蜀定理也成立。设有一族 裡的多项式 。设 为它们的最大公约式(首项系数为1且次数最高者),那么存在多项式 使得 。特别来说,如果 互质(不是两两互质),那么存在多项式 使得 

对于两个多项式的情况,与整数时一样可以得到通解。

任意主理想环上的情况编辑

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环 是主理想环,  为环中元素, 是它们的一个最大公约元,那么存在环中元素  使得:

 

这是因为在主理想环中,  的最大公约元被定义为理想 生成元

参见编辑

参考来源编辑

  • 闵嗣鹤、严士健,初等数论,高等教育出版社,2003。
  • 唐忠明,抽象代数基础,高等教育出版社,2006。

外部連結编辑