泡利方程

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

泡利方程或称薛定谔-泡利方程，为描述带有自旋1/2的粒子在与电磁场相互作用下的修正方程（自旋1/2粒子例如电子）。在此之前，用以描述粒子行为的薛定谔方程则未考虑到粒子自旋的性质。其为狄拉克方程在非相对论极限下的特例，应用在粒子速度慢到相对论效应可以忽略的场合。

泡利方程是由沃尔夫冈·泡利于1927年所建构。

方程

一自旋粒子具有质量m、电荷q，于外加电磁场中运动；外加电磁场可以标势ϕ、矢势A = (A_x, A_y, A_z)来描述。泡利方程可描述外加电磁场与自旋相互作用的影响：

泡利方程 （广义形式）

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

其中

$\mathbf {p}$为动量算符（p = −iħ∇，∇为梯度算符），

${\vec {\sigma }}$为泡利矩阵，

$|\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}$为泡利旋量。

两个旋量分量都满足薛定谔方程

${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$，

这表示系统是有额外但简并的的自由度。

另可看出泡利方程的哈密顿算符为：

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi$

因泡利矩阵的存在，此哈密顿算符为2 × 2矩阵算符。泡利方程的哈密顿算符形似于带电粒子在电磁场中的经典哈密顿算符，但后者没有考虑到自旋。

泡利矩阵可以从动能项中移出，只要使用泡利矩阵的关系式：

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)$

将p = −iħ∇代入，可得到

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi$

其中B = ∇ × A，即磁场。

与施特恩-格拉赫实验的关系

泡利方程可分拆为两项：

泡利方程 （磁场B）

$\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}$

同上述，

$|\psi _{\pm }\rangle$为泡利旋量，

${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$为泡利矩阵所构成的泡利向量，

B为外加磁场，与磁矢势A的关系为：$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$，

而

${\hat {1}}$为二阶单位矩阵${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$。

左半部为薛定谔方程（上式Schrödinger equation），右半部施特恩-格拉赫项（上式Stern-Gerlach term）。如此可解释带有一个价电子的原子何以得到得到自旋取向，例如流过不均匀磁场的银原子。相似地，比如在反常塞曼效应，这一项造成磁场中的谱线（对应到能级）分裂。

与薛定谔方程、狄拉克方程的关系

泡利方程为非相对论性的量子力学方程，但其能描述自旋相关的行为，因此其具有薛定谔方程与狄拉克方程的中介角色：

• 常见的薛定谔方程（作用于复标量波动方程），非相对论性，也无法描述自旋。
• 狄拉克方程（作用于复数四分量旋量），完整地考虑了相对论效应，可描述自旋。

注意到：若磁矢势A为零，泡利方程则约化为一个在纯电势ϕ中运动的带电粒子之薛定谔方程：

$\left[{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}$

但因为泡利矩阵的存在，此方程是作用在二分量旋量上的。因此仅当磁场存在时，粒子自旋才会对粒子的运动发挥影响。

由狄拉克方程推导泡利方程

自狄拉克方程开始，设定弱的电磁场相互作用：

$i\hbar \partial _{t}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=c\left({\begin{array}{c}{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{2}\\{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{1}\end{array}}\right)+q\phi \left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)+mc^{2}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\-{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)$

其中${\vec {\pi }}={\vec {p}}-q{\vec {A}}$

利用到如下近似：

• 透过如下拟设对方程做简化

$\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=e^{-i{\frac {mc^{2}t}{\hbar }}}\left({\begin{array}{c}{\vec {{\tilde {\varphi }}_{1}}}\\{\vec {{\tilde {\varphi }}_{2}}}\end{array}}\right)$

• 透过缓慢时间相依性的前提去除掉静能量

$\partial _{t}{\vec {\varphi }}_{i}\ll {\frac {mc^{2}}{\hbar }}{\vec {\varphi }}_{i}$

• 与电场势有弱的耦合

$q\phi \ll mc^{2}$

外部链接

• （英文）The Schrödinger-Pauli Hamiltonian （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）The relativistic Pauli equation （页面存档备份，存于互联网档案馆）