泛包络代数

在数学中，我们可以构造任意李代数 $L$ 的泛包络代数 $U(L)$。李代数一般并非结合代数，但泛包络代数则是带乘法单位元的结合代数。李代数的表示理论可以理解为其泛包络代数的表示理论。在几何上，泛包络代数可以解释为李群上的左不变微分算子。

泛性质

以下固定域 $K$。首先注意到：对任意带乘法单位元的 $K$-结合代数 $U$，定义括积 $[a,b]:=ab-ba$，可视 $U$ 为李代数。

泛包络代数系指带单位元的结合代数 $U(L)$ 及一个指定的李代数同态 $i:L\to L(U)$。这对资料由下述泛性质刻划：

对任意带乘法单位元的 $K$-结合代数 $A$， 若存在李代数同态

$h:L\to A$。

则存在唯一的代数同态

$g:U(L)\to A$

使之满足

$g\circ i=h$

换言之，函子 $L\mapsto U(L)$ 满足下述关系：

$\mathrm {Hom} _{\mbox{Alg.}}(U(L),A){\stackrel {\sim }{\to }}\mathrm {Hom} _{\mbox{Lie alg.}}(L,A)$

$g\mapsto g\circ i$

借此，可视 $U(-)$ 为 $U$（单位结合代数）$\mapsto U$（李代数）的左伴随函子。

构造方式

首先考虑张量代数 $T(L)$，此时有自然的包含映射 $i_{0}:L\to T(L)$。取 $I\subset T(L)$ 为下列元素生成的双边理想

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)$

定义

$U(L):=T(L)/I$

所求的映射 $i:L\to U(L)$ 为 $i_{0}:L\to T(L)$ 与商映射的合成。容易验证 $i$ 保存李括积。

根据上述构造，可直接验证所求的泛性质。

基本性质

• 若 $L$ 可交换，则 $U(L)$ 亦然；此时 $U(L)$ 同构于多项式代数。
• 若 $L$ 来自李群 $G$，则 $U(L)$ 可理解为 $G$ 上的左不变微分算子。
• $U(L)$ 的中心 $Z(U(L))$ 显然包含 $i(Z(L))$，但不仅如此，通常还包括更高阶的元素，例如喀希米尔元素；这种元素给出李群上的拉普拉斯算子。

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

主条目：庞加莱-伯克霍夫-维特定理

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包络代数的根本定理之一。取定有限维李代数 $L$ 的基 $X_{1},\ldots ,X_{n}$，此定理断言

$X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\quad (e_{1},\ldots ,e_{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0})$

是 $U(L)$ 的基。此定理的直接推论是：$i:L\to U(L)$ 为单射。

表示理论

在泛性质中取 $A=\mathrm {End} (V)$，其中 $V$ 为任意向量空间，遂可等同 $L$ 的表示与 $U(L)$ 的表示，后者不外是 $U(L)$-模。借此观点，李代数表示理论可视为模论的一支。

群代数之于群表示一如泛包络代数之于李代数的表示。两者都具有霍普夫代数结构。

文献

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6