数学里,尤其是在抽象代数里,交换环质元素(prime element)是指满足类似整数里的质数不可约多项式之性质的一个数学物件。须注意的是,质元素与不可约元素之间并不相同,虽然在唯一分解整环里是一样的,但在一般情况下则不一定相同。

定义

编辑

交换环 R 的元素 p 被称为质元素,若该元素不为 0 或可逆元素,且若 p 整除 ab(a 与 b 为 R 内的元素),则 p 整除 a 或 p 整除 b。等价地说,一元素 p 为质元素,若且唯若由 p 产生的主理想 (p) 为非零质理想[1]

对质元素的兴趣来自于算术基本定理。该定理断言,每个非零整数都可以以唯一一种方式写成 1 或 -1 乘上一串正质数之乘积。这导致了对唯一分解整环的研究,推广了仅在整数内被描述之概念。

一个元素是否为质元素,取决于该元素处于哪个环内;例如,2在 Z 里是个质元素,但在高斯整数环 Z[i] 里则不是,因为 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 无法整除等式右边的任一因子。

与质理想间的关连

编辑

环 R 内的一个理想 I 为质理想,若商环 R/I 为一整环

一非零主理想质理想,若且唯若该主理想由一质元素所产生。

不可约元素

编辑

不可将质元素与不可约元素搞混。在一整环里,每个质元素都是不可约元素[2],但反之不一定成立。不过,在唯一分解整环[3](或更一般地,在GCD环)里,质元素与不可约元素会是相同的元素。

举例来说,在二次整数环英语quadratic integer ring 中,可以用范数证明 3 是不可约元素。不过,3 不是质元素,因为

 

  无法整除  ,也无法整除  [4]

例子

编辑

下面为环里的质元素之例子:

  • 在整数环 Z 里的整数 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ...
  • 高斯整数环 Z[i] 里的复数 (1+i)、19 与 (2+3i)
  • 在 Z 上之多项式环 Z[x] 里的多项式 x2 − 2x2 + 1

参考资料

编辑
注记
  1. ^ Hungerford 1980,Theorem III.3.4(i) 如书中所证明的,这两个陈述等价。
  2. ^ Hungerford 1980,Theorem III.3.4(iii)
  3. ^ Hungerford 1980,Remark after Definition III.3.5
  4. ^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9. 
参考书籍
  • Kaplansky, Irving, Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc.: x+180, 1970, MR 0254021